en comparant cette valeur de
à la précédente, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}l\quad =&\mathrm {N} \varphi -{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+\ldots ,\\l^{(1)}=&\mathrm {P} \varphi -\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e526f29de26037adfee0b971e0f24b56a7a532a4)
devant être changé en
dans les seconds membres de ces équations dont le nombre est égal au degré de l’équation différentielle (2) : on pourra donc, à leur moyen, déterminer toutes les constantes arbitraires de la valeur de
et, si l’on désigne par
ce que devient
lorsqu’on a ainsi déterminé ses constantes arbitraires, on aura
![{\displaystyle y_{s}=\int x^{s}\psi dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babcedb9f360687a92dba9d7a5184875bba902bb)
De là, et de ce que l’équation (1) est linéaire, il est facile de conclure que, si
est égal à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p^{s}\left[l\ \,+l^{(1)}s+l^{(2)}s(s-1)+l^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots \right]\\+&p_{1}^{s}\left[l_{1}+l_{1}^{(1)}s+l_{1}^{(2)}s(s-1)+l_{1}^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots \right]\\+&p_{2}^{s}\left[l_{2}+l_{1}^{(1)}s+l_{2}^{(2)}s(s-1)+l_{2}^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ac98060bcbe67d73e939ef5f3501440646b51d)
en nommant
ce que devient
lorsqu’on y change successivement
dans
on aura
![{\displaystyle y_{s}=\int x^{s}\psi dx+\int x^{s}\psi _{1}dx+\int x^{s}\psi _{2}dx+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270d11fa51d65a967959ec7ba6067cab68a14995)
la première intégrale étant prise depuis
jusqu’à
la seconde intégrale étant prise depuis
jusqu’à
etc. Cette valeur de
ne renferme aucune constante arbitraire ; mais, en la joignant à celle que nous avons trouvée dans le numéro précédent, pour le cas de
on aura pour l’expression complète de ![{\displaystyle y_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f755690acf5d31a8f36b9faa8ee0f65dab378a)
(4)
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Il sera facile, par les méthodes du no VI, d’avoir en séries conver-