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rentielle (2) ; on pourra donc éliminer, à leur moyen, toutes les constantes arbitraires de la valeur de $\varphi ,$ moins une, et l’on aura une équation finale en $x,$ dont les racines seront autant de limites de l’intégrale $\int \delta y\varphi dx\,;$ on cherchera, au moyen de cette équation, un nombre de valeurs différentes de $x,$ égal au degré de l’équation différentielle (1). Soient $q,q^{(1)},q^{(2)},\ldots$ ces valeurs, elles donneront autant de valeurs différentes de $\varphi ,$ puisque les constantes arbitraires de $\varphi ,$ moins une, sont déterminées en fonctions de ces valeurs. On pourra ainsi représenter les valeurs de $\varphi ,$ correspondantes aux limites $q,q^{(1)},q^{(2)},\ldots ,$ par $\mathrm {B\lambda ,B^{(1)}\lambda ^{(1)},B^{(2)}\lambda ^{(2)},\ldots B,B^{(1)},B^{(2)}} ,\ldots$ étant des constantes arbitraires, et l’on aura pour la valeur complète de $y_{s}$

$y_{s}=\mathrm {B} \int \delta y\lambda dx+\mathrm {B} ^{(1)}\int \delta y\lambda ^{(1)}dx+\mathrm {B} ^{(2)}\int \delta y\lambda ^{(2)}dx+\ldots ,$

l’intégrale du premier terme étant prise depuis $x=h$ jusqu’à $x=q,$ celle du second terme étant prise depuis $x=h$ jusqu’à $x=q^{(1)},$ celle du troisième terme étant prise depuis $x=h$ jusqu’à $x=q^{(2)},\ldots ,$ et ainsi du reste. On déterminera les constantes arbitraires $\mathrm {B,B^{(1)},B^{(2)}} ,\ldots$ au moyen d’autant de valeurs particulières de $y_{s}..$

X.

Supposons maintenant que dans l’équation (3) $\mathrm {S}$ ne soit pas nul ; si l’on prend l’intégrale $\int \delta y\varphi dx$ depuis $x=h$ jusqu’à $x$ égal à une quantité quelconque $p,$ il est clair que l’on aura $\mathrm {C} =0$ et que $\mathrm {S}$ sera ce que devient la fonction

$\delta y\left[\mathrm {N} \varphi -{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+\ldots \right]+{\frac {d\delta y}{dx}}(\mathrm {P} \varphi -\ldots )+\ldots$

lorsqu’on y change $x$ en $p\,;$ ainsi, pour le succès de la méthode précédente, il est nécessaire que $\mathrm {S}$ ait la forme de cette fonction. Supposons, par exemple, $\delta y=x^{s},$ et

$\mathrm {S} =p^{s}\left[l+l^{(1)}s+l^{(2)}s(s-1)+l^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots \right]\,;$