Cette équation, ayant lieu quel que soit
servira à interpoler les suites dont les différences des termes vont en décroissant.
Toutes les manières de développer la puissance
donneront autant de méthodes différentes pour interpoler les suites ; soit, par exemple,
![{\displaystyle {\frac {1}{t}}=1+{\frac {\alpha }{t^{r}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e429feb0864c083e02d8e277bcad358f7465314b)
en développant
suivant les puissances de
au moyen du beau théorème de M. de la Grange (voir les Mémoires de l’Académie, année 1777, page 115), on trouvera facilement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {u}{t^{i}}}=u&\left[1+i\alpha +{\frac {i(i+2r-1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {i(i+3r-1)(i+3r-2)}{1.2.3}}\alpha ^{3}\right.\\&\ \ \quad \qquad \left.+{\frac {i(i+4r-1)(i+4r-2)(i+3r-2)}{1.2.3.4}}\alpha ^{4}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b741dd64a9184bdf0e6399c9d95c33a29ad4dab2)
Maintenant,
étant égal à
le coefficient de
dans le développement de
est, par l’article précédent,
ce même coefficient dans le développement de
est
et ainsi de suite. On aura donc
![{\displaystyle y_{x+1}=y_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63cc15f99bf6cfd5ff0ce19f34d18825d5ea44e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}+i\Delta y_{x-r}&+{\frac {i(i+2r-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x-2r}+{\frac {i(i+3r-1)(i+3r-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}y_{x-3r}\\&+{\frac {i(i+4r-1)(i+4r-2)(i+3r-2)}{1.2.3.4}}\Delta ^{4}y_{x-4r}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e53028fae9fe1aa606222702fad63f5dd40f676)
IV.
Voici présentement une méthode générale d’interpolation qui a l’avantage de s’appliquer, non seulement aux suites dont les différences des termes finissent par être nulles, mais encore aux suites dont la dernière raison des termes est celle d’une suite récurrente quelconque.