Partant, si dans ce cas on met les valeurs de
sous cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&a+a^{(1)}s+a^{(2)}s(s-1)+a^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots ,\\\mathrm {B} =&b+b^{(1)}\,s+b^{(2)}\,s(s-1)+b^{(3)}\,s(s-1)(s-2)+\ldots ,\\\mathrm {C} =&c+c^{(1)}\,s+c^{(2)}\,s(s-1)+c^{(3)}\,s(s-1)(s-2)+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd769c05b7c61e26607827e06c308cdb1193a2bf)
l’équation (1) deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} =\int \varphi dx&\left\{{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\quad \delta y\ \left[a\,\quad +b\quad (x-1)+c\quad (x-1)^{2}+\ldots \right]\right.\\&-{\frac {d\delta y}{dx}}\ \left[a^{(1)}+b^{(1)}(x-1)+c^{(1)}(x-1)^{2}+\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}\left[a^{(2)}+b^{(2)}(x-1)+c^{(2)}(x-1)^{2}+\ldots \right]\\&\left.+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5292dc8fc84d34ba8176770abae2eb99670f17a)
En représentant généralement
par
les deux formes précédentes que l’équation (1) prend dans les suppositions de
et de
seront comprises dans la suivante
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int \varphi dx\left(\mathrm {M} \delta y+\mathrm {N} {\frac {d\delta y}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{3}\delta y}{dx^{3}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9eea7b0e24be6d9e81bd906f10ae9818fdbccc2)
étant des fonctions de
indépendantes de la variable
qui n’entre dans le second membre de cette équation qu’au tant que
et ses différences en sont fonctions.
Maintenant, pour y satisfaire, on intégrera par parties ses différents fermes ; or on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathrm {N} \varphi dx{\frac {d\delta y}{dx}}\ \ =&\ \ \ \delta y\mathrm {N} \varphi -\int \delta y{\frac {d(\mathrm {N} \varphi )}{dx}}dx,\\\int \mathrm {P} \varphi dx{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}=&{\frac {d\delta y}{dx}}\mathrm {P} \varphi -\delta y{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+\int \delta y{\frac {d^{2}(\mathrm {P} \varphi )}{dx^{2}}}dx,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd7c2332e19d004a22773c4823486c04e4836d1)