Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/259

Partant, si dans ce cas on met les valeurs de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sous cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&a+a^{(1)}s+a^{(2)}s(s-1)+a^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots ,\\\mathrm {B} =&b+b^{(1)}\,s+b^{(2)}\,s(s-1)+b^{(3)}\,s(s-1)(s-2)+\ldots ,\\\mathrm {C} =&c+c^{(1)}\,s+c^{(2)}\,s(s-1)+c^{(3)}\,s(s-1)(s-2)+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

l’équation (1) deviendra

${\begin{aligned}\mathrm {S} =\int \varphi dx&\left\{{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\quad \delta y\ \left[a\,\quad +b\quad (x-1)+c\quad (x-1)^{2}+\ldots \right]\right.\\&-{\frac {d\delta y}{dx}}\ \left[a^{(1)}+b^{(1)}(x-1)+c^{(1)}(x-1)^{2}+\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}\left[a^{(2)}+b^{(2)}(x-1)+c^{(2)}(x-1)^{2}+\ldots \right]\\&\left.+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

En représentant généralement $y,$ par $\int \delta y\varphi dx,$ les deux formes précédentes que l’équation (1) prend dans les suppositions de $\delta y=e^{-sx}$ et de $\delta y=x^{s}$ seront comprises dans la suivante

$\mathrm {S} =\int \varphi dx\left(\mathrm {M} \delta y+\mathrm {N} {\frac {d\delta y}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{3}\delta y}{dx^{3}}}+\ldots \right),$

$\mathrm {M,N,P,Q} ,\ldots$ étant des fonctions de $x$ indépendantes de la variable $s,$ qui n’entre dans le second membre de cette équation qu’au tant que $\delta y$ et ses différences en sont fonctions.

Maintenant, pour y satisfaire, on intégrera par parties ses différents fermes ; or on a

${\begin{aligned}\int \mathrm {N} \varphi dx{\frac {d\delta y}{dx}}\ \ =&\ \ \ \delta y\mathrm {N} \varphi -\int \delta y{\frac {d(\mathrm {N} \varphi )}{dx}}dx,\\\int \mathrm {P} \varphi dx{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}=&{\frac {d\delta y}{dx}}\mathrm {P} \varphi -\delta y{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+\int \delta y{\frac {d^{2}(\mathrm {P} \varphi )}{dx^{2}}}dx,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$