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lorsque l’un quelconque des nombres $n,n',n'',\ldots$ est impair, et

$\int t^{2i}t'^{2i'}t''^{2i''}\ldots dtdt'dt''\ldots e^{-t^{2}-t'^{2}-t''^{2}-\ldots }$

$={\frac {1.3.5\ldots (2i-1).1.3.5\ldots (2i'-1).1.3.5\ldots (2i''-1)\ldots \pi ^{\frac {r}{2}}}{2^{i+i'+i''+\ldots }}}$

Si les puissances auxquelles les facteurs de $y$ sont élevés sont très considérables, on aura à très peu près

$\mathrm {M} =-{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x^{2}}}{\mathrm {Y} }},\quad \mathrm {M} '=-{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x'^{2}}}{\mathrm {Y} }},\quad \mathrm {M} ''=-{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x''^{2}}}{\mathrm {Y} }},\quad \ldots ,$

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x'^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x''^{2}}},\ldots$ étant ce que deviennent ${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x'^{2}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x''^{2}}},\ldots$ lorsqu’on y change $x,x',x'',\ldots$ dans $a,a',a''.$ On aura ainsi a très peu près

$\theta ={\frac {\mathrm {Y} ^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {-{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x^{2}}}}}},\quad \theta '={\frac {\mathrm {Y} ^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {-{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x'^{2}}}}}},\quad \theta ''={\frac {\mathrm {Y} ^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {-{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x''^{2}}}}}},\quad \ldots ,$

d’où l’on tire ce théorème général :

L’intégrale $\int ydxdx'dx''\ldots ,$ prise entre les valeurs consécutives de $x,x',x'',\ldots$ qui rendent $y$ nul, est à très peu près égale à

${\frac {(-2\pi )^{\frac {r}{2}}\mathrm {Y} ^{\frac {r+2}{2}}}{\sqrt {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x'^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial x''^{2}}},\ldots }}},$

si les facteurs de $y$ sont élevés à de grandes puissances.

Article II.

De l’intégration par approximation des équations linéaires
aux différences finies et infiniment petites.

VIII.

Considérons l’équation linéaire aux différences finies

(1)

$\mathrm {S} =\mathrm {A} y_{s}+\mathrm {B} \Delta y_{s}+\mathrm {C} \Delta ^{2}y_{s}+\ldots ,$