Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/256

on aura une équation de cette forme

$\mathrm {M\theta ^{2}+M'\theta '^{2}+M''} \theta ''^{2}+\ldots =t^{2}+t'^{2}+t''^{2}+\ldots ,$

$\mathrm {M}$ étant la partie du développement de $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}}$ multipliée par $\theta ^{2}\,;\ \mathrm {M} '$ étant la partie de ce développement multipliée par $\theta '^{2}$ et indépendante de $\theta$ ; $\mathrm {M} ''$ étant la partie multipliée par $\theta ''^{2}$ et indépendante de $\theta$ et de $\theta ',$ et ainsi du reste. On partagera cette équation dans les suivantes

$\mathrm {M} \theta ^{2}=t^{2},\quad \mathrm {M} '\theta '^{2}=t'^{2},\quad \mathrm {M} ''\theta ''^{2}=t''^{2},\quad \ldots ,$

d’où l’on tirera celles-ci, par le retour des suites,

$\theta =\mathrm {N} t,\quad \theta '=\mathrm {N} 't',\quad \theta ''=\mathrm {N} ''t'',\quad \ldots .$

$\mathrm {N}$ étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de $t,t',t'',\ldots \,;$

$\mathrm {N} '$ étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de $t',t'',\ldots \,;$

$\mathrm {N} ''$ étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de $t'',\ldots .$

Ces suites seront d’autant plus convergentes que les facteurs de $y$ seront élevés à de plus hautes puissances.

Maintenant on a

$dxdx'dx''\ldots =d\theta d\theta 'd\theta ''\ldots ,$

et il est facile de s’assurer que ce dernier produit est égal à

${\frac {d(\mathrm {N} t)}{dt}}{\frac {d(\mathrm {N} 't')}{dt'}}{\frac {d(\mathrm {N} ''t'')}{dt''}}\ldots dtdt'dt''\ldots \,;$

partant

$\int ydxdx'dx''\ldots =$

$\mathrm {Y} \int {\frac {d(\mathrm {N} t)}{dt}}{\frac {d(\mathrm {N} 't')}{dt'}}{\frac {d(\mathrm {N} ''t'')}{dt''}}\ldots dtdt'dt''\ldots e^{-t^{2}-t'^{2}-t''^{2}-\ldots },$

les intégrales relatives à $t,t',t'',\ldots$ étant prises depuis ces variables égales à $-\infty$ jusqu’à ces variables égales à $+\infty .$ Il sera facile d’avoir les intégrales des différents termes du second membre de cette équation en observant que l’on a généralement

$\int t^{n}t'^{n'}t''^{n''}\ldots dtdt'dt''\ldots e^{-t^{2}-t'^{2}-t''^{2}-\ldots }=0,$