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grale relative à $x$ étant prise depuis $x=\varpi$ jusqu’à la valeur $x$ qui convient à $t=\infty \,;$ partant

$\int ydxdx'=\mathrm {YR-Y'R'-Y_{1}R_{1}+Y'_{1}R'_{1}} ,$

l’intégrale relative à $x$ étant prise entre les limites $\theta$ et $\varpi ,$ et l’intégrale relative à $x'$ étant prise entre les limites $\theta '$ et $\varpi '.$ Cette formule répond à la formule (A) du n^o I, qui n’est relative qu’à une seule variable. Elle a le même inconvénient, celui de ne pouvoir s’étendre aux intervalles voisins du maximum de $y\,;$ il faut pour ces intervalles employer une méthode analogue à celle du n^o II. Ainsi, en supposant que, dans l’intervalle compris entre $\theta$ et $\varpi ,\ y$ devienne un maximum et que la condition du maximum ne fasse disparaître que la première différence de $y,$ au lieu de faire, comme précédemment, $y=\mathrm {Y} e^{-t-t'},$ on fera

$y=\mathrm {Y} e^{-t^{2}-t'}\,;$

et si, dans l’intervalle compris entre $\theta '$ et $\varpi ',\ y$ devient un maximum, on fera

$y=\mathrm {Y} e^{-t^{2}-t'^{2}}.$

Comme nous aurons principalement besoin dans la suite de l’intégrale $\int ydxdx',$ prise entre les limites de $x$ et de $x'$ qui rendent $y$ nul, nous allons discuter ce cas d’une manière générale.

Considérons l’intégrale $\int ydxdx'dx''\ldots ,\ y$ étant une fonction des $r$ variables $x,x',x'',\ldots$ qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Si l’on nomme $a,a',a'',\ldots$ les valeurs de $x,x',x'',\ldots$ qui répondent au maximum de $y,$ et que l’on désigne par $\mathrm {Y}$ ce maximum, on fera

$y=\mathrm {Y} e^{-t^{2}-t'^{2}-t''^{2}-\ldots }\,;$

en supposant ensuite

$x=a+\theta ,\quad x'=a'+\theta ',\quad x''=a''+\theta '',\quad \ldots ,$

on substituera ces valeurs dans la fonction $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}},$ et, en la développant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots ,$