Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/254

c’est-à-dire à ${\frac {\partial (\mathrm {N} t)}{\partial t}}{\frac {\partial (\mathrm {N} 't')}{\partial t'}}dtdt',$ partant

$\int ydxdx'=Y\int {\frac {\partial (\mathrm {N} t)}{\partial t}}{\frac {\partial (\mathrm {N} 't')}{\partial t'}}dtdt'e^{-t-t'}.$

Il sera facile d’intégrer les différents termes du second membre de cette équation, puisqu’il ne s’agira que d’intégrer des termes de cette forme $\int t^{n}dte^{-t}$ ou $\int t'^{n}dt'e^{-t'}.$

Si l’on prend l’intégrale relative à $t'$ depuis $t'=0$ jusqu’à $t'=\infty ,$ et que l’on nomme $\mathrm {Q}$ le résultat de l’intégration, on aura

$\int ydx'=\mathrm {YQ} ,$

l’intégrale étant prise depuis $x'=\theta '$ jusqu’à la valeur de $x'$ qui convient à $t'$ infini ; si l’on change ensuite, dans $Y$ et $\mathrm {Q} ,\ \theta '$ dans $\varpi ',$ et que l’on nomme $\mathrm {Y} '$ et $\mathrm {Q} '$ ce que deviennent alors ces quantités, on aura

$\int ydx'=\mathrm {Y'Q'} ,$

l’intégrale étant prise depuis $x'=\varpi '$ jusqu’à la valeur de $x'$ qui convient à $t'$infini ; on aura donc

$\int ydx=\mathrm {YQ-Y'Q'} ,$

l’intégrale relative à $x'$ étant prise depuis $x'=\theta '$ jusqu’à $x'=\varpi '.$

En nommant $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ les intégrales $\int \mathrm {Q} dt$ et $\int \mathrm {Q} 'dt,$ prises depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty ,$ on aura

$\int ydxdx'=\mathrm {YR-Y'R'} ,$

l’intégrale relative à $x'$ étant prise depuis $x'=\theta '$ jusqu’à $x'=\varpi ',$ et l’intégrale relative à $x$ étant prise depuis $x=\theta$ jusqu’à la valeur de $x$ qui convient à $t$ infini. Si dans $\mathrm {Y,R,Y',R'}$ on change $\theta$ dans $\varpi ,$ et que l’on nomme $Y_{1},R_{1},Y_{1}',R_{1}',$ ce que deviennent alors ces quantités, on aura

$\int ydxdx'=\mathrm {Y_{1}R_{1}-Y_{1}'R_{1}'} ,$

l’intégrale relative à $x'$ étant prise entre les limites $\theta '$ et $\varpi ',$ et l’inté-