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autre fonction $\mathrm {X} '$ de la même variable ; en faisant $x'=\mathrm {X} +u\mathrm {X} ',$ l’intégrale $\int ydxdx'$ se changera dans celle-ci $\int y\mathrm {X} 'dxdu,$ l’intégrale relative à $u$ devant être prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1.$ On peut donc ainsi réduire l’intégrale $\int ydxdx'$ à des limites constantes et indépendantes des variables qu’elle renferme ; nous supposerons conséquemment qu’elle à cette forme et que l’intégrale relative à $x$ est prise depuis $x=\theta$ jusqu’à $x=\varpi ,$ tandis que l’intégrale relative à $x'$ est prise depuis $x'=\theta '$ jusqu’à $x'=\varpi '.$ Cela posé, en nommant $\mathrm {Y}$ ce que devient $y$ lorsqu’on y change $x$ et $x'$ dans $\theta$ et $\theta ',$ on fera

$y=\mathrm {Y} e^{-t-t'}\,;$

en supposant ensuite $x=\theta +u$ et $x'=\theta '+u',$ on réduira la fonction $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}}$ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $u$ et de $u',$ et l’on aura une équation de cette forme

$\mathrm {M} u+\mathrm {M} 'u'=t+t',$

dans laquelle $\mathrm {M}$ est la partie du développement de $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}}$ qui renferme tous les termes multipliés par $u,$ et $\mathrm {M} '$ est l’autre partie qui renferme les termes multipliés par $u'$ et qui sont indépendants de $u.$ On partagera l’équation précédente dans les deux suivantes

$\mathrm {M} u=t,\qquad \mathrm {M} 'u'=t',$

d’où l’on tirera celles-ci, par le retour des suites,

$u=\mathrm {N} t,\qquad u'=\mathrm {N} 't',$

$\mathrm {N}$ étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de $t$ et de $t',$ et $\mathrm {N} '$ étant uniquement ordonnée par rapport aux puissances de $t'$ et indépendante de $t.$ Ces deux suites seront très convergentes si $y$ renferme des facteurs très élevés. Maintenant on a

$dxdx'=dudu',$

et il est aisé de s’assurer que ce dernier produit est égal à ${\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\partial u'}{\partial t'}}dtdt'.$