Cette expression de sera d’autant plus approchée que les facteurs de seront élevés à de plus hautes puissances.
La formule renferme l’intégrale indéfinie \int dte^{-t^2} qu’il n’est pas possible d’obtenir en termes finis ; mais on peut, dans tous les cas, la déterminer d’une manière fort approchée par les méthodes connues. Si est peu considérable, on pourra faire usage de la série suivante
l’intégrale étant prise depuis jusqu’à
Si est considérable, on pourra se servir de cette série
l’intégrale étant prise depuis jusqu’à en sorte que, pour avoir la valeur de cette intégrale depuis jusqu’à il faut retrancher la valeur précédente de Cette série est alternativement plus grande et plus petite que l’intégrale de manière que la valeur de cette intégrale, prise depuis jusqu’à est toujours comprise entre la somme d’un nombre fini quelconque de ses termes et cette même somme augmentée du terme suivant. Ce genre de série, que l’on peut nommer séries de limites, a l’avantage de faire connaître avec précision les limites des erreurs des approximations. Dans un grand nombre de cas, les formules et conduisent à des séries de cette nature.
On peut facilement étendre l’analyse précédente aux doubles, triples, … intégrales ; pour cela, considérons la double intégrale étant une fonction de et de qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Supposons que l’intégrale relative à doive être prise depuis une fonction de jusqu’à une
