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La formule précédente devient ainsi

$(d)\quad \int ydx=Y{\sqrt {\pi }}\left(\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}}}{\frac {d^{4}\mathrm {U} ^{5}}{1.2.3.4dx^{4}}}+\ldots \right),$

l’intégrale $\int ydx$ étant prise entre les deux valeurs consécutives de $x$ qui rendent $y$ nul, et $\mathrm {Y}$ étant le maximum de $y$ compris entre ces valeurs. Les différents termes de cette formule se détermineront facilement en observant que, si l’on fait

$\mathrm {A} =-{\frac {d^{2}\log y}{1.2dx^{2}}},\quad \mathrm {B} =-{\frac {d^{3}\log y}{1.2.3dx^{3}}},\quad \mathrm {C} =-{\frac {d^{4}\log y}{1.2.3.4dx^{4}}},\quad \ldots ,$

$x$ étant changé en $a,$ après les différentiations, on aura généralement

$v^{r}=\mathrm {A} ^{-{\frac {r}{2}}}-{\frac {r}{2}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r}{2}}-1}\mathrm {B} (x-a)$

$+\left[{\frac {r(r+2)}{8}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r}{2}}-2}\mathrm {B} ^{2}-{\frac {r}{2}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r}{2}}-1}\mathrm {C} \right](x-a)^{2}+\ldots$

On a

$d^{2}\log y={\frac {d^{2}y}{y}}-{\frac {dy^{2}}{y^{2}}}\,;$

la supposition de $x=a$ fait disparaître $dy\,:$ on aura donc

${\frac {d^{2}\log y}{dx^{2}}}=-2\mathrm {A} ={\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} dx^{2}}},$

$\mathrm {Y}$ et ${\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}$ étant ce que deviennent $y$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ lorsqu’on y fait $x=a\,;$ partant, si dans la formule $(d)$ on ne considère que le premier terme de la série, on aura à très peu près

$\int ydx={\frac {\mathrm {Y} ^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {-{\cfrac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad \left(\int ydx\right)^{2}={\frac {2\pi \mathrm {Y} ^{3}}{-{\cfrac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}}},$

l’intégrale $\int ydx$ étant prise entre les deux valeurs consécutives de $x$ qui font disparaître $y,\mathrm {Y}$ et ${\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}$ étant les valeurs de $y$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ correspondantes à la valeur intermédiaire de $x$ qui fait disparaître $dy.$