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Si dans la formule (a) on suppose $\log y,$ et par conséquent $-{\frac {ydx}{dy}}$ très petit de l’ordre $\alpha ,$ cette formule ne pourra pas servir dans tout l’intervalle où $(x-a)^{2}$ est moindre que $\alpha \,;$ dans ce cas, on peut faire usage de la formule $(b),$ qui cesse elle-même d’être convergente lorsque $vt$ ou, ce qui revient au même, $x-a$ n’est pas une quantité très petite de l’ordre $\alpha ^{\lambda },\ \lambda$ étant positif ; mais, dans l’intervalle où cela n’est pas, la série $(a)$ peut être employée, en sorte que ces deux séries se servent de supplément l’une à l’autre ; il y a même des intervalles où toutes les deux peuvent être d’usage, car, puisque la convergence de la série $(a)$ exige que $x-a$ soit de l’ordre $\alpha ^{{\frac {1}{2}}-\lambda },\ \lambda$ étant positif, et que celle de la série $(b)$ exige que ${\frac {1}{2}}-\lambda$ soit positif, ces deux séries peuvent servir à la fois pour toutes les valeurs positives de $\lambda$ moindres que ${\frac {1}{2}}.$ La première sera ordonnée par rapport aux puissances de $\alpha ^{2\lambda },$ et la seconde le sera par rapport aux puissances de $\alpha ^{{\frac {1}{2}}-\lambda }\,;$ il faudra donc préférer la première ou la seconde, suivant que $2\lambda$ sera plus grand ou moindre que ${\frac {1}{2}}-\lambda ,$ c’est-à-dire suivant que l’on aura $\lambda$ plus grand ou plus petit que ${\frac {1}{2}}.$

La formule $(b)$ donne, en intégrant depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\mathrm {T} ',$

$(c)\left\{{\begin{aligned}\int ydx&=\mathrm {Y} \left(\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}}}{\frac {d^{4}\mathrm {U} ^{5}}{1.2.3dx^{4}}}+\ldots \right)\int dte^{-t^{2}}\\&+{\frac {\mathrm {Y} }{2}}e^{-\mathrm {T} ^{2}}\left[{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}\ +\mathrm {T} {\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}\ +\left(\mathrm {T} ^{2}+1\right){\frac {d^{3}\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3dx^{3}}}\ +\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {Y} }{2}}e^{-\mathrm {T} '^{2}}\left[{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}+\mathrm {T} '{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}+\left(\mathrm {T} '^{2}+1\right){\frac {d^{3}\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3dx^{3}}}+\ldots \right],\end{aligned}}\right.$

intégrale $\int ydx$ étant prise depuis la valeur de $x$ qui convient à $t=\mathrm {T}$ jusqu’à celle qui convient à $t=\mathrm {T} '.$

Si l’on suppose $\mathrm {T} =-\infty$ et $\mathrm {T} '=\infty ,$ on aura généralement

$\mathrm {T} ^{r}e^{-\mathrm {T} ^{2}}=0,\qquad \mathrm {T} '^{r}e^{-\mathrm {T} '^{2}}=0\,;$

on a d’ailleurs dans ce cas (n^o IV)

$\int dte^{-t^{2}}={\sqrt {\pi }}.$