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dépendront, quelque soit $r,$ que de ${\frac {n}{2}}-1$ intégrales algébriques prises dans la formule (Z) si $n$ est pair, ou de ${\frac {n-1}{2}}$ de ces mêmes intégrales si $n$ est impair.

V.

Reprenons maintenant la formule (C) du n^o III ; si l’on y fait $i=1,$ elle ne renfermera que la seule transcendante $\mathrm {K}$ ou $\int dte^{-t^{2}},$ qui, par le numéro précédent, est égale à ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ ou à $0{,}886227.$

Si l’on y fait $i=2,$ cette formule renfermera les deux transcendantes $\mathrm {K}$ et $\mathrm {K} ^{(1)},$ qui sont respectivement égales à $\int dte^{-t^{4}}$ et à $\int t^{2}dte^{-t^{4}}\,;$ or la formule (R) du numéro précédent donne, en y faisant $i=2$ et en observant qu’alors $\sin {\frac {\pi }{2i}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},$

$4\left(\int dte^{-t^{2}}\right)^{2}={\sqrt {2\pi }}\int {\frac {du}{\left(1-u^{4}\right)^{\frac {1}{2}}}}.$

Cette dernière intégrale représente la longueur de la courbe élastique que M. Stirling a trouvée égale à

$1{,}31102877714605987\,;$

en désignant donc par $\pi '$ cette valeur, on aura

$\mathrm {K} =\int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi '{\sqrt {2\pi }}}}\,;$

la formule (Z) donnera ensuite, en y faisant $n=4$ et $r=2,$

$16\int dte^{-t^{4}}\int t^{2}dte^{-t^{4}}=\pi {\sqrt {2}},$

partant

$\mathrm {K} ^{(1)}=\int t^{2}dte^{-t^{4}}={\frac {\pi ^{\frac {3}{4}}}{4{\sqrt {2\pi '{\sqrt {2}}}}}}.$

Nous ne pousserons pas plus loin cet examen des valeurs de $\mathrm {K,K^{(1)}} ,\ldots$ correspondantes aux différentes valeurs de $i,$ parce que les cas où $i$ surpasse l’unité sont très rares dans les applications de l’Analyse.