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successivement $r=i+1$ et $r=i+2,$

$(2i+1)^{2}\mathrm {K} ^{i}\int t^{i}dte^{-t^{2i+1}}$

$={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{2i+1}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {2}{2i+1}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {3}{2i+1}}}}\ldots \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {i}{2i+1}}}},$

$(2i+1)^{2}\mathrm {K} ^{i+1}\int t^{i-1}dte^{-t^{2i+1}}$

$={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{2i+1}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {2}{2i+1}}}}\ldots \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {i+1}{2i+1}}}}\,;$

en multipliant ces deux équations l’une par l’autre et en observant que l’équation (T) donne, en y faisant $r=i+1,$

$(2i+1)^{2}\int t^{i-1}dte^{-t^{2i+1}}\int t^{i}dte^{-t^{2i+1}}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {i\pi }{2i+1}}}},$

on aura

$(2i+1)^{2}\mathrm {K} ^{2i+1}={\frac {\pi \sin {\cfrac {i\pi }{2i+1}}}{\left(\sin {\cfrac {\pi }{2i+1}}\right)^{2}}}$

$\times \left[\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {2}{2i+1}}}}\ldots \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {i}{2i+1}}}}\right]^{2}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {i+1}{2i+1}}}}.$

$\mathrm {K}$ sera ainsi donné en fonction des $i$ premières intégrales algébriques de la formule (Z), et cette même formule donnera les valeurs de $\int t^{2i+1-r}dte^{-t^{2i+1}},$ en fonction des mêmes intégrales, lorsque $r$ sera égal ou moindre que $i+2\,;$ la formule (T) donnera ensuite les valeurs de cette intégrale transcendante lorsque $r$ sera plus grand que $i+2,$ d’où l’on peut conclure que chacune des intégrales

$\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {i+2}{2i+1}}}},\quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {i+3}{2i+1}}}},\quad \ldots ,\quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i+1}\right)^{\frac {2i}{2i+1}}}}$

sera donnée en fonction des $i$ premières intégrales algébriques de la formule (Z).

De là il suit généralement que toutes les valeurs de $\int t^{r}dte^{-t^{n}}$ ne