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Supposons maintenant $n$ pair et égal à $2i\,;$ si l’on fait $r=i+1$ dans la formule (Z), elle donnera

$4i^{2}K^{i}\int t^{i-1}dte^{-t^{2i}}=$

${\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{2i}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {2}{2i}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {3}{2i}}}}\ldots \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {1}{2}}}}.$

Or, en changeant $t^{i}$ en $t,$ l’intégrale $\int t^{i-1}dte^{-t^{2i}}$ deviendra

${\frac {1}{i}}\int dte^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2i}}\,;$

on aura donc

(R)

$2iK^{i}={\frac {\sqrt {\pi }}{\sin {\cfrac {\pi }{2i}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {2}{2i}}}}\ldots \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {1}{2}}}}\,;$

ainsi $\mathrm {K}$ sera donné en fonction des $i-1$ premières intégrales algébriques de la formule (Z), et cette même formule donnera les valeurs de toutes les intégrales transcendantes $\int t^{2i-r}dte^{-t^{2i}},$ en fonctions de ces mêmes intégrales, lorsque $r$ sera égal ou moindre que $i+1$ ou, ce qui revient au même, lorsque l’exposant $2i-r$ sera égal ou plus grand que $i-1.$ Si cet exposant est moindre, alors $r-2$ sera plus grand que $i-1,$ et la formule (T) donnant la valeur de l’intégrale $\int t^{2i-r}dte^{-t^{2i}},$ au moyen de celle-ci $\int t^{r-2}dte^{-t^{2i}},$ cette valeur ne dépendra que des $i-1$ premières intégrales algébriques de la formule (Z) ; ainsi toutes les valeurs de l’intégrale $\int t^{2i-r}dte^{-t^{2i}}$ ne dépendront, quel que soit $r,$ que de ces $i$ premières intégrales algébriques, et, comme les valeurs correspondantes à $r$ plus grand que $i$ sont données par la formule (Z) en fonctions de ces intégrales et des suivantes

$\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {i+1}{2i}}}},\quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {i+2}{2i}}}},\quad \ldots ,\quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {2i-1}{2i}}}},$

il en résulte que chacune de ces dernières intégrales sera donnée en fonction des $i-1$ premières intégrales algébriques de la formule (Z).

Si $n$ est impair et égal à $2i+1,$ la formule (Z) donnera, en y faisant