et moindre que
ces valeurs dépendent des
intégrales algébriques
![{\displaystyle \int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {2}{n}}}},\quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {3}{n}}}},\quad \ldots \quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334b2ca65ac2bc7d31d90cf75bce6284f3311e1f)
mais on peut diminuer de moitié le nombre de ces intégrales par la méthode suivante.
Si, dans la formule (Z), on fait
elle donnera
![{\displaystyle n^{2}\int dte^{-t^{n}}\int t^{n-2}dte^{-t^{n}}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac46291597ccc16f8163599cc7ffaaf1bca9fa0b)
Cette équation est généralement vraie, quel que soit
en le supposant même fractionnaire ; partant, si l’on y change
dans
on aura
![{\displaystyle n^{2}\int dte^{-t^{\frac {n}{r-1}}}\int t^{{\frac {n}{r-1}}-2}dte^{-t^{\frac {n}{r-1}}}={\frac {(r-1)^{2}\pi }{\sin {\cfrac {(r-1)\pi }{n}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5110a226ff520807cbc048233e879f7af4ac2db6)
et, si dans cette nouvelle équation on change
dans
elle deviendra
(T)
|
|
|
Si, dans cette équation, on suppose
ce qui donne
on aura
![{\displaystyle n^{2}\left(\int t^{{\frac {n}{2}}-1}dte^{-t^{n}}\right)^{2}=\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff7d990ddfef9beceef0e4e607f6f43bbb5a444)
et, si l’on change
dans
on aura ce résultat remarquable
![{\displaystyle \int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca499ad9dd8baadf9d6d6cdc0063e1c2ae2439)
c’est-à-dire que l’intégrale
prise depuis
jusqu’à
infini, est la moitié de la racine carrée du rapport de la demi-circonférence au rayon.