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et moindre que $n\,;$ ces valeurs dépendent des $n-2,$ intégrales algébriques

$\int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {2}{n}}}},\quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {3}{n}}}},\quad \ldots \quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\,;$

mais on peut diminuer de moitié le nombre de ces intégrales par la méthode suivante.

Si, dans la formule (Z), on fait $r=2,$ elle donnera

$n^{2}\int dte^{-t^{n}}\int t^{n-2}dte^{-t^{n}}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{n}}}}.$

Cette équation est généralement vraie, quel que soit $n,$ en le supposant même fractionnaire ; partant, si l’on y change $n$ dans ${\frac {n}{r-1}},$ on aura

$n^{2}\int dte^{-t^{\frac {n}{r-1}}}\int t^{{\frac {n}{r-1}}-2}dte^{-t^{\frac {n}{r-1}}}={\frac {(r-1)^{2}\pi }{\sin {\cfrac {(r-1)\pi }{n}}}},$

et, si dans cette nouvelle équation on change $t$ dans $t^{r-1},$ elle deviendra

(T)

$n^{2}\int t^{r-2}dte^{-t^{n}}\int t^{n-r}dte^{-t^{n}}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {(r-1)\pi }{n}}}}.$

Si, dans cette équation, on suppose $r-2=n-r,$ ce qui donne $r={\frac {n}{2}}+1,$ on aura

$n^{2}\left(\int t^{{\frac {n}{2}}-1}dte^{-t^{n}}\right)^{2}=\pi ,$

et, si l’on change $t^{\frac {n}{2}}$ dans $t,$ on aura ce résultat remarquable

$\int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$

c’est-à-dire que l’intégrale $\int dte^{-t^{2}},$ prise depuis $t=0$ jusqu’à $t$ infini, est la moitié de la racine carrée du rapport de la demi-circonférence au rayon.