étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&\mathrm {K} ^{r-1}\int t^{n-r}dte^{-t^{n}}\\&={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{n}}}}\int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-2}{n}}}}\ldots \int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-r+2}{n}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d201e926471b358dfcd577572ba51c55da76c82)
toutes les intégrales étant prises depuis les valeurs nulles des variables jusqu’à leurs valeurs infinies.
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle dz={\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {n+1}{n}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b931a5b9eecf787de057d732d762a67fd7927a6)
la formule précédente deviendra ainsi
(Z)
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les intégrales relatives à
étant prises depuis
jusqu’à
parce que la supposition de
donne
et que celle de
donne
Il faut dans cette formule prendre autant de facteurs affectés du signe intégral qu’il y a d’unités dans ![{\displaystyle r-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13c2bc631f528b82b8c19cf7befee95240dc1dd)
La formule (Z) offre plusieurs corollaires intéressants que nous allons développer ; si l’on y suppose
l’intégrale
se changera en
et l’on aura
(V)
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Ainsi
ou
sera donné par cette équation en fonctions d’intégrales algébriques, et la formule (Z) donnera la valeur de
en fonctions semblables,
étant un nombre quelconque entier positif