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$\pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, on aura

${\begin{aligned}n^{2}&\mathrm {K} ^{r-1}\int t^{n-r}dte^{-t^{n}}\\&={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{n}}}}\int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-2}{n}}}}\ldots \int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-r+2}{n}}}},\end{aligned}}$

toutes les intégrales étant prises depuis les valeurs nulles des variables jusqu’à leurs valeurs infinies.

Si l’on fait $1+z^{n}={\frac {1}{1-u^{n}}},$ on aura

$dz={\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {n+1}{n}}}}\,;$

la formule précédente deviendra ainsi

(Z)

$\left\{{\begin{aligned}n^{2}&\mathrm {K} ^{r-1}\int t^{n-r}dte^{-t^{n}}\\&={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{n}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {2}{n}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {3}{n}}}}\ldots \int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {r-1}{n}}}},\end{aligned}}\right.$

les intégrales relatives à $u$ étant prises depuis $u=0$ jusqu’à $u=1,$ parce que la supposition de $z=0$ donne $u=0$ et que celle de $z=\infty$ donne $u=1.$ Il faut dans cette formule prendre autant de facteurs affectés du signe intégral qu’il y a d’unités dans $r-2.$

La formule (Z) offre plusieurs corollaires intéressants que nous allons développer ; si l’on y suppose $r=n,$ l’intégrale $\int t^{n-r}dte^{-t^{n}}$ se changera en $\mathrm {K} ,$ et l’on aura

(V)

$n^{2}\mathrm {K} ^{n}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{n}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {2}{n}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {3}{n}}}}\ldots \int {\frac {du}{\left(1-u^{n}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}.$

Ainsi $\mathrm {K}$ ou $\int dte^{-t^{n}}$ sera donné par cette équation en fonctions d’intégrales algébriques, et la formule (Z) donnera la valeur de $\int t^{n-r}dte^{-t^{n}}$ en fonctions semblables, $r$ étant un nombre quelconque entier positif