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les intégrales relatives à $z$ étant prises depuis $z=0$ jusqu’à $z=\infty .$

Intégrons présentement, d’une autre manière, la différentielle

$dsdxdx^{(1)}\ldots e^{-s\left(1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots \right)},$

et, au lieu de commencer les intégrations par $s,$ terminons-les par cette variable ; pour cela, nous observerons que l’on a

$\int dxe^{-sx^{n}}={\frac {1}{s^{\frac {1}{n}}}}\int s^{\frac {1}{n}}dxe^{-sx^{n}}={\frac {1}{s^{\frac {1}{n}}}}\int dte^{-t^{n}},$

$t$ étant supposé égal à $s^{\frac {1}{n}}x.$ L’intégrale relative à $x$ devant être prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty .$ Soit donc $\int dte^{-t^{n}}=\mathrm {K} ,$ on aura

$\int dxe^{-sx^{n}}={\frac {\mathrm {K} }{s^{\frac {1}{n}}}}\,;$

on aura pareillement

$\int dx^{(1)}e^{-sx^{(1)^{n}}}={\frac {\mathrm {K} }{s^{\frac {1}{n}}}},$

et ainsi de suite ; partant,

${\begin{aligned}\int &dsdxdx^{(1)}\ldots dx^{(r-2)}e^{-s\left(1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)}\\&=K^{r-1}\int {\frac {dse^{-s}}{s^{\frac {r-1}{n}}}}=nK^{r-1}\int t^{n-r}dte^{-t^{n}},\end{aligned}}$

$t$ étant ici égal à $s^{\frac {1}{n}},$ et l’intégrale relative à $t$ étant prise, comme l’intégrale relative à $s,$ depuis la valeur nulle de cette variable jusqu’à sa valeur infinie. En comparant les deux expressions de

$\int dsdxdx^{(1)}\ldots e^{-s\left(1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots \right)}$

et en observant que

$\int {\frac {dz}{1+z^{n}}}={\frac {\pi }{n\sin {\cfrac {\pi }{n}}}},$