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IV.

Considérons généralement l’intégrale

$\int dsdxdx^{(1)}dx^{(2)}\ldots dx^{(r-2)}e^{-s\left(1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)},$

les intégrales successives étant prises depuis $s,x,x^{(1)},x^{(2)},\ldots ,$ égaux à zéro jusqu’aux valeurs infinies de ces variables. En intégrant d’abord par rapport à $s,$ on réduira l’intégrale précédente à celle-ci

$\int {\frac {dxdx^{(1)}dx^{(2)}\ldots dx^{(r-2)}}{1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}}}.$

Soit

${\frac {x}{\left(1+x^{(1)^{n}}+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {1}{n}}}}=z\,;$

on aura

${\begin{aligned}\int &{\frac {dx}{1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}}}\\&={\frac {1}{\left(1+x^{(1)^{n}}+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\int {\frac {dz}{1+z^{n}}},\end{aligned}}$

l’intégrale relative à $z$ étant prise depuis $z=0$ jusqu’à z $=\infty .$ Soit encore

${\frac {x^{(1)}}{\left(1+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {1}{n}}}}=z^{(1)}\,;$

on aura

${\begin{aligned}\int &{\frac {dx^{(1)}}{\left(1+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\\&={\frac {1}{\left(1+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {n-2}{n}}}}\int {\frac {dz^{(1)}}{\left(1+z^{(1)^{n}}\right)^{\frac {n-1}{n}}}},\end{aligned}}$

l’intégrale relative à $z^{(1)}$ étant prise depuis $z^{(1)}=0$ jusqu’à $z^{(1)}=\infty .$ En continuant d’opérer ainsi, on trouvera

${\begin{aligned}\int &dsdxdx^{(1)}\ldots dx^{(r-2)}e^{-s\left(1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)}\\&=\int {\frac {dz}{1+z^{n}}}\int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-2}{n}}}}\ldots \int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-r+2}{n}}}},\end{aligned}}$