IV.
Considérons généralement l’intégrale
![{\displaystyle \int dsdxdx^{(1)}dx^{(2)}\ldots dx^{(r-2)}e^{-s\left(1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea38c717aad4af5f23ed742af915e14d8c1430d)
les intégrales successives étant prises depuis
égaux à zéro jusqu’aux valeurs infinies de ces variables. En intégrant d’abord par rapport à
on réduira l’intégrale précédente à celle-ci
![{\displaystyle \int {\frac {dxdx^{(1)}dx^{(2)}\ldots dx^{(r-2)}}{1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79fc8d32c40f7d1fb6d091ec3269c082a32642b)
Soit
![{\displaystyle {\frac {x}{\left(1+x^{(1)^{n}}+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {1}{n}}}}=z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778c903e8d9094fea24950d97795515c97942528)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &{\frac {dx}{1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}}}\\&={\frac {1}{\left(1+x^{(1)^{n}}+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\int {\frac {dz}{1+z^{n}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd59e648483303a87279aa59f563da9addba9bb)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à z
Soit encore
![{\displaystyle {\frac {x^{(1)}}{\left(1+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {1}{n}}}}=z^{(1)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb037ec3683e76bad03aae7f150be11880dc966)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &{\frac {dx^{(1)}}{\left(1+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\\&={\frac {1}{\left(1+x^{(2)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)^{\frac {n-2}{n}}}}\int {\frac {dz^{(1)}}{\left(1+z^{(1)^{n}}\right)^{\frac {n-1}{n}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2589b2737e7f4b1d1be83e67ca8ca9f96b1cc6)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à
En continuant d’opérer ainsi, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &dsdxdx^{(1)}\ldots dx^{(r-2)}e^{-s\left(1+x^{n}+x^{(1)^{n}}+\ldots +x^{(r-2)^{n}}\right)}\\&=\int {\frac {dz}{1+z^{n}}}\int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-1}{n}}}}\int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-2}{n}}}}\ldots \int {\frac {dz}{\left(1+z^{n}\right)^{\frac {n-r+2}{n}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1310b04433c4d2a9f274b3c93a8a009fd296379d)