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$t=0$ jusqu’à $t=\infty ,$ et, dans ce cas, on a, par le numéro précédent,

$\int t^{2n}dte^{-t^{2i}}=$

${\frac {(2n-2i+1)(2n-4i+1)\ldots (2n-2ri+1)}{(2i)^{r}}}\int t^{2n-2r}dte^{-t^{2i}},$

$r$ étant égal au quotient de la division de $n$ par $i$ si la division est possible, ou au nombre entier immédiatement plus petit si la division n’est pas possible. Soit donc

${\begin{aligned}\mathrm {K} \qquad =&\int dte^{-t^{2i}},\\\mathrm {K} ^{(1)}\quad =&\int t^{2}dte^{-t^{2i}},\\\mathrm {K} ^{(2)}\quad =&\int t^{4}dte^{-t^{2i}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {K} ^{(i-1)}=&\int t^{2i-2}dte^{-t^{2i}}\,;\end{aligned}}$

la formule (B) du numéro précédent deviendra

(C)

$\left\{{\begin{aligned}&\int ydx=\\&2\mathrm {KY} \left(\mathrm {U} +{\frac {1}{2i}}{\frac {d^{2i}\mathrm {U} ^{2i+1}}{1.2.3\ldots 2idx^{2i}}}+{\frac {2i+1}{4i^{2}}}{\frac {d^{4i}\mathrm {U} ^{4i+1}}{1.2.3\ldots 4idx^{4i}}}+\ldots \right)\\&+2\mathrm {K^{(1)}Y} \left[{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}+{\frac {3}{2i}}{\frac {d^{2i+2}\mathrm {U} ^{2i+3}}{1.2.3\ldots (2i+2)dx^{2i+2}}}\right.\\&\quad \qquad \qquad \left.+{\frac {3(2i+3)}{4i^{2}}}{\frac {d^{4i+2}\mathrm {U} ^{4i+3}}{1.2.3\ldots (4i+2)dx^{4i+2}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+2\mathrm {K^{(i-1)}Y} \\&\times \left[{\frac {d^{2i-2}\mathrm {U} ^{2i-1}}{1.2.3\ldots (2i-2)dx^{2i-2}}}+{\frac {2i-1}{2i}}{\frac {d^{4i-2}\mathrm {U} ^{4i-1}}{1.2.3\ldots (4i-2)dx^{4i-2}}}\right.\\&\quad \qquad \qquad \left.+{\frac {(2i-1)(4i-1)}{4i^{2}}}{\frac {d^{4i-2}\mathrm {U} ^{4i-1}}{1.2.3\ldots (6i-2)dx^{6i-2}}}+\ldots \right].\end{aligned}}\right.$

Cette formule est la somme d’un nombre $i$ de suites différentes, décroissantes comme les puissances de $\alpha ,$ puisque $\mathrm {U}$ est de l’ordre $\alpha ^{\frac {1}{2i}},$ et multipliées respectivement par les transcendantes $\mathrm {K,K^{(1)},K^{(2)}} ,\ldots$ qu’il est par conséquent important de connaître. Voyons ce que l’analyse nous apprend à cet égard.