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tent de l’intégration des quantités de cette forme $\int t^{n}dte^{-t^{\mu +1}}\,;$ or on a

${\begin{aligned}&\int t^{n}dte^{-t^{\mu +1}}\\&={\frac {-e^{-t^{\mu +1}}}{\mu +1}}\left[t^{n-\mu }+{\frac {n-\mu }{\mu +1}}t^{n-2\mu }+{\frac {(n-\mu )(n-2\mu -1)}{(\mu +1)^{2}}}t^{n-3\mu -2}+\ldots \right.\\&\left.+{\frac {(n-\mu )(n-2\mu -1)(n-3\mu -2)\ldots (n-r\mu +\mu -r+2)t^{n-r\mu -r+1}}{(\mu +1)^{r-1}}}\right]\\&+{\frac {(n-\mu )(n-2\mu -1)\ldots (n-r\mu -r+1)}{(\mu +1)^{r}}}\int t^{n-r\mu -r}dte^{-t^{\mu +1}},\end{aligned}}$

$r$ étant égal au quotient de la division de $n$ par $\mu +1$ si la division est possible, ou au nombre entier immédiatement inférieur si elle ne l’est pas. La détermination de l’intégrale $\int ydx$ dépend donc des intégrales de cette forme

$\int dte^{-t^{\mu +1}},\int tdte^{-t^{\mu +1}},\ldots ,\int t^{\mu -1}dte^{-t^{\mu +1}}\,;$

il n’est pas possible d’obtenir exactement ces intégrales par les méthodes connues ; mais il sera facile dans tous les cas d’avoir leurs valeurs approchées.

III.

Nous aurons principalement besoin dans la suite de la valeur de $\int ydx$ pour tout l’intervalle compris entre deux valeurs consécutives de $x$ qui rendent $y\,;$ nul nous allons conséquemment exposer les simplifications dont cette valeur est alors susceptible, $y$ ayant été supposé dans le numéro précédent égal à $\mathrm {Y} e^{-t^{\mu +1}},$ il est visible que les deux valeurs de $x$ qui rendent $y$ nul rendent pareillement nulle la quantité $e^{-t^{\mu +1}},$ ce qui suppose que $\mu +1$ est un nombre pair, et que l’une de ces valeurs de $x$ répond à $t=-\infty$ et l’autre à $t=\infty \,;\ \mathrm {Y}$ est donc alors le maximum de $y$ compris entre ces valeurs. Soit $\mu +1=2i\,;$ si l’on prend l’intégrale $\int t^{2n+1}dte^{-t^{2i}}$ depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$ sa valeur sera nulle, car il est clair que les éléments de cette intégrale qui répondent aux valeurs de $t$ négatives sont égaux et de signe contraire à ceux qui répondent aux valeurs de $t$ positives. L’intégrale $\int t^{2n}dte^{-t^{2i}}$ sera égale à $2\int t^{2n}dte^{-t^{2i}}$ cette dernière intégrale étant prise depuis