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d’où il est facile de conclure

(B)

$\int ydx=Y\int dte^{-t^{\mu +1}}\left[\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}t+{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}t^{2}+{\frac {d^{3}\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3dx^{3}}}t^{3}+\ldots \right].$

Cette formule pourra être employée dans tout l’intervalle où $x$ diffère très peu de $a\,;$ elle peut conséquemment servir de supplément à la formule (A) du numéro précédent ; mais, au lieu d’être ordonnée comme elle par rapport aux puissances de $\alpha ,$ elle ne le sera que relativement aux puissances de $\alpha ^{\frac {1}{\mu +1}},$ car il est visible que, dans ce dernier cas, $v$ n’est que de l’ordre $\alpha ^{\frac {1}{\mu +1}}.$

Pour déterminer plus facilement les quantités $U,{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{dx^{2}}},\ldots ,$ supposons

$\log \mathrm {Y} -\log y=(x-a)^{\mu +1}\left[\mathrm {A+B} (x-a)+\mathrm {C} (x-a)^{2}+\ldots \right]\,;$

nous aurons, en changeante $x$ en $a,$ après les différentiations,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&-{\frac {d^{\mu +1}\log y}{1.2.3\ldots (\mu +1)dx^{\mu +1}}},\\\mathrm {B} =&-{\frac {d^{\mu +2}\log y}{1.2.3\ldots (\mu +2)dx^{\mu +2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Nous aurons ensuite, quel que soit $r,$

${\begin{aligned}v^{r}=&\left[\mathrm {A+B} (x-a)+\mathrm {C} (x-a)^{2}+\ldots \right]^{-{\frac {r}{\mu +1}}}\\=&\mathrm {A} ^{-{\frac {r}{\mu +1}}}-{\frac {r}{\mu +1}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r+\mu +1}{\mu +1}}}\mathrm {B} (x-a)\\&+\left[{\frac {r(r+\mu +1)}{1.2(\mu +1)^{2}}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r+2\mu +2}{\mu +1}}}\mathrm {B} ^{2}-{\frac {r}{\mu +1}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r+\mu +1}{\mu +1}}}\mathrm {C} \right](x-a)^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Si l’on fait successWeinenl dans cet formule $r=1,\ r=2,\ r=3,\ldots ,$ il sera facile d’en conclure les valeurs de $\mathrm {U} ,{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{dx^{2}}},\ldots ,$ et la formule (B) ne présentera plus d’autres difficultés que celles qui résul-