et, par conséquent,
![{\displaystyle \int ydx=UY\int dte^{-t}\left[1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}t+{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{1.2d\theta ^{2}}}t^{2}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c21e5a68349e3c34b2b7465d6c2b12ef500ba18)
Si l’on prend l’intégrale depuis
jusqu’à
on aura généralement
![{\displaystyle \int t^{n}dte^{-t^{n}}=1.2.3\ldots n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65cd945c618b5f1b4c6d7e3a76d03b986b63f08)
partant
![{\displaystyle \int ydx=\mathrm {UY} \left\{1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{d\theta ^{2}}}+{\frac {d\left[\mathrm {U} d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )\right]}{d\theta ^{3}}}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62f37a1d5dfead59f51e5be3629247303436441)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à la valeur de
qui convient à
infini.
Nommons
et
ce que deviennent
et
lorsqu’on y change
en
nous aurons pareillement
![{\displaystyle \int ydx=\mathrm {U'Y'} \left\{1+{\frac {d\mathrm {U} '}{d\theta '}}+{\frac {d(\mathrm {U} 'd\mathrm {U} ')}{d\theta '^{2}}}+{\frac {d\left[\mathrm {U} 'd(\mathrm {U} 'd\mathrm {U} ')\right]}{d\theta '^{3}}}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736a17e7d7a235d9930acbc0f78cae6978a1734a)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à la valeur de
qui convient à
infini ; en retranchant donc ces deux expressions l’une de l’autre, on aura
(A)
|
|
|
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à
en sorte que la considération de
disparaît dans cette formule. Si
et
étaient primitivement renfermés dans
il ne faudrait faire varier que les quantités
et
qu’introduisent dans
et
les changements de
en
et en
dans la fonction ![{\displaystyle v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7b87f7afb1452b9d0e287f8ef746a9912c8333)
La formule (A) sera très convergente si
ou
est une très petite quantité ; or,
étant, par la supposition, égal à
on a
![{\displaystyle v=-{\frac {1}{{\cfrac {sdu}{udx}}+s'{\cfrac {du'}{u'dx}}+\ldots +{\cfrac {d\varphi }{\varphi dx}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10aab0587390b4ed8b4a466b1ba02406a692e87)