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on fera $u^{s}u'^{s'}\ldots \varphi =y,$ et, en désignant par $\mathrm {Y}$ ce que devient $y$ lorsqu’on y change $x$ en $\theta ,$ on supposera $y=\mathrm {Y} e^{-t},\ e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; on aura ainsi \log\frac{\mathrm Y}{y}=t

Si l’on considère $x$ comme une fonction de $t$ donnée par cette équation, on aura, en supposant $dt$ constant,

$x=\theta +t{\frac {dx}{dt}}+{\frac {t^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {t^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}+\ldots ,$

$t$ devant être supposé nul, après les différentiations, dans les valeurs de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ldots .$ Or on a généralement

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}={\frac {1}{dt}}d{\frac {1}{dt}}d{\frac {1}{dt}}\ldots d{\frac {x}{dt}},$

la caractéristique différentielle $d$ se rapportant à tout ce qui la suit, et $dt$ pouvant varier d’une manière quelconque dans le second membre de cette formule ; de plus, si l’on différentie l’équation $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}}=t,$ et que l’on désigne $-{\frac {ydx}{dy}}$ par $v,$ on aura

$dt={\frac {dx}{v}}\,;$

partant, on aura

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}={\frac {vd\left[vd(v\ldots dv)\right]}{dx^{n-1}}},$

$dx$ étant supposé constant dans le second membre de cette équation. En nommant donc $\mathrm {U}$ ce que devient $v$ lorsqu’on y change $x$ en $\theta ,$ la valeur de ${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}},$ qui répond à $x=0,$ ou, ce qui revient au même, à $t=0,$ sera égale à ${\frac {\mathrm {U} d\left[\mathrm {U} d(\mathrm {U} \ldots d\mathrm {U} )\right]}{d\theta ^{n-1}}}\,;$ on aura ainsi

$x=\theta +\mathrm {U} t+{\frac {\mathrm {U} d\mathrm {U} }{1.2d\theta }}t^{2}+{\frac {\mathrm {U} d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{1.2.3d\theta ^{2}}}t^{3}+\ldots ,$

d’où l’on tire

$dx=\mathrm {U} dt\left[1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}t+{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{1.2d\theta ^{2}}}t^{2}+\ldots \right]$