naturelle ; mais, pour peu que l’on soit versé dans l’Analyse intinitésiinale, on a souvent observé des fonctions différentielles d’une forme très simple, et qui renferment des facteurs élevés à de grandes puissances, produire, par leur intégration, des fonctions très composées, ee qui donne lieu de penser que toute fonction composée est réductible à de semblables intégrales qu’il ne s’agira plus ensuite que de convertir en séries convergentes. Le problème que nous nous proposons de résoudre, considéré sous ce point de vue, se partage ainsi en deux autres, dont l’un consiste à intégrer par approximation les fouettions différentielles qui renferment des facteurs très élevés, et dont l’autre a pour objet de ramener à ce genre d’intégrales les fonctions dont on cherche des valeurs approchées.
Dans l’article I de ce Mémoire, je donne la solution du premier problème, qui, par lui-même, est très utile dans cette branche de l’Analyse des hasards, où l’on se propose de remonter des événements observés à leurs causes et de reconnaître, par ces événements, la probabilité des événements futurs (voir les Mémoires de l’Académie pour l’année 1778). Cette solution me conduit à différentes séries qui se servent de supplément les unes aux autres, les premières devant être employées pour les points de l’intégrale éloignés du maximum de la fonction différentielle, et les secondes devant servir pour les points voisins de ce maximum : ces dernières suites renferment des quantités transcendantes qui, le plus souvent, se réduisent à celle-ci
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; et, comme cette intégrale, prise depuis jusqu’à est la moitié de la racine carrée du rapport de la demi-circonférence au rayon, il en résulte que la valeur approchée des intégrales déterminées des fonctions différentielles qui renferment des facteurs très élevés dépend presque toujours de cette racine, dans le cas même où ces intégrales sont algébriques ; ainsi cette quantité transcendante que M. Stirling a le premier introduite dans la valeur approchée du terme moyen du
