que des quantités algébriques, elle introduit une quantité transcendante : savoir la racine carrée du rapport de la demi-circonférence au rayon. Mais la méthode de M. Stirling, fondée sur l’interpolation des suites et sur quelques théorèmes de Wallis, laisse à désirer une méthode directe qui s’étende à toutes les fonctions composées d’un grand nombre de termes et de facteurs. J’ai donné, dans nos Mémoires pour l’année 1778, p. 289[1], un moyen général de réduire en séries convergentes les intégrales des fonctions différentielles qui renferment des facteurs élevés à de grandes puissances ; mais, occupé d’un objet différent, je me suis alors contenté de tirer de cette méthode les beaux théorèmes de M. Stirling, en me réservant de la reprendre et de l’approfondir dans un autre Mémoire. De nouvelles réflexions m’ont conduit à l’étendre généralement aux fonctions quelconques de très grands nombres et à réduire ces fonctions dans des suites d’autant plus convergentes que ces nombres sont j^lus considérables, en sorte que cette méthode est d’autant plus approchée qu’elle devient plus nécessaire. Je me propose de la développer dans ce Mémoire avec tout le détail dû à la nouveauté du sujet et à son importance dans les applications de l’Analvse.
La difficulté que présente la réduction en nombres des formules analytiques très composées vient de la multiplicité de leurs termes et de leurs facteurs : on la fera donc disparaître, si l’on parvient à réduire ces formules dans des suites assez convergentes pour que l’on n’ait besoin d’en considérer que les premiers termes, et si, de plus, chacun de ces termes ne renferme qu’un petit nombre de facteurs qui peuvent d’ailleurs être élevés à de grandes puissances. Il sera facile alors d’avoir ces facteurs et leurs produits, par les artifices connus, pour obtenir, au moyen des Tables, les logarithmes de très grands nombres et les nombres de très grands logarithmes. La question se réduit ainsi à transformer les fonctions composées en séries convergentes. Cela parait impossible lorsqu’on les considère sous leur forme
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IX, p. 444.
