ensuite une méthode générale pour avoir dans ce cas l’intégrale complète de l’équation différentielle, en supposant même que cette équation renferme un terme indépendant de la variable principale, et qui soit une fonction quelconque des deux autres variables ; d’où il suit que, lorsqu’une équation proposée se refuse à cette méthode, on peut être assuré que son intégrale complète est impossible en termes finis, en n’ayant égard qu’aux seules variables de l’équation. Maintenant, la remarque dont j’ai parlé ci-dessus m’a fait voir que, dans ce cas, l’intégrale est possible en termes finis, au moyen d’intégrales définies prises par rapport à une nouvelle variable qu’il faut nécessairement alors introduire dans le calcul. On verra ci-après que ces formes d’intégrales sont du même usage dans la solution des problèmes que les formes connues ; je donne pour les obtenir une méthode qui s’étend à un grand nombre de cas, et spécialement à plusieurs questions physiques importantes, telles que le mouvement des cordes vibrantes dans un milieu résistant comme la vitesse, la propagation du son dans un plan, etc., donton n’a pu trouver encore que des solutions particulières.
En transportant aux différences infiniment petites les remarques que je fais sur une équation particulière aux différences finies partielles, je parviens à assurer d’une manière incontestable que, dans le problème des cordes vibrantes, on peut admettre des fonctions discontinues, pourvu qu’aucun des angles formés par deux côtés contigus de la figure initiale de la corde ne soit fini ; d’où il me parait que ces fonctions peuvent être généralement employées dans tous les problèmes qui se rapportent aux différences partielles, pourvu qu’elles puissent subsister avec les équations différentielles et avec les conditions du problème ; ainsi, la seule condition qui soit nécessaire dans la détermination des fonctions arbitraires d’une équation proposée aux différences partielles de l’ordre est qu’il n’y ait point de saut entre deux valeurs consécutives d’une différence de ces fonctions, plus petite que la différence ième, et, par conséquent, que, dans les courbes au moyen desquelles on représente ces fonctions arbitraires, il n’y ait point de saut entre deux tangentes consécutives, si, comme
