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se ramener à celle d’une équation linéaire aux différences infiniment petites, au moyen d’intégrales définies prises par rapport à une nouvelle variable ; je nomme intégrale définie une intégrale prise depuis une valeur déterminée de la variable jusqu’à une autre valeur déterminée. Cette remarque, plus curieuse qu’utile dans la théorie des différences finies, devient très utile lorsqu’on la transporte aux équations linéaires aux différences infiniment petites partielles : elle donne un moyen de les intégrer dans une infinité de cas qui se refusent à toutes les méthodes connues, et, sans elle, il m’eût été presque impossible de prévoir les formes dont les intégrales sont alors susceptibles. Mais, pour rendre ce que je viens de dire plus sensible, il ne sera pas inutile de rappeler en peu de mots ce que l’on a découvert sur les équations linéaires aux différences infiniment petites partielles du second ordre. L’intégrale de ces équations renferme, comme l’on sait, deux fonctions arbitraires ; on a, de plus, remarqué que ces fonctions peuvent être, dans l’intégrale, affectées du signe différentiel $d\,;$ et c’est, si je ne me trompe, à MM. Euler et de la Grange que l’on doit cette remarque importante à laquelle ils ont été conduits par la théorie du son, dans le cas où l’air est considéré avec ses trois dimensions. Ces deux grands géomètres ont ensuite étendu leurs méthodes à des équations plus compliquées que celles de ce problème ; mais il restait à trouver une méthode au moyen de laquelle on pût généralement, ou intégrer une équation quelconque linéaire du second ordre, ou s’assurer que son intégrale est impossible en termes finis, en n’ayant égard qu’aux seules variables qu’elles renferment : c’est l’objet d’un Mémoire que j’ai inséré dans le Volume de l’Académie pour l’année 1773 ^[1]. Dans ce Mémoire, j’ai démontré : 1^o que les fonctions arbitraires ne peuvent exister dans l’intégrale que sous une forme linéaire ; 2^o que si l’intégrale est possible en termes finis, en ne considérant que les seules variables de l’équation, une des deux fonctions arbitraires est nécessairement délivrée du signe intégral $\int .$ J’ai donné

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 5.