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servant la même distance périhélie que dans la première, on fera varier d’un demi-jour ou d’un jour, plus ou moins, l’instant du passage par le périhélie. On cherchera, dans cette nouvelle hypothèse, les valeurs de $\mathrm {U-V}$ et de $\mathrm {U'-V'} .$ Soient alors

$m''=\mathrm {U-V} ,\qquad n''=\mathrm {U'-V'} .$

Cela posé, si l’on nomme $u$ le nombre par lequel on doit multiplier la variation supposée dans la distance périhélie pour avoir la véritable, et $t$ le nombre par lequel on doit multiplier la variation supposée dans l’instant du passage par le périhélie pour avoir ce véritable instant ; on aura les deux équations

${\begin{aligned}u(m-m')+t(m-m'')=&m,\\u(n\ -n'\ )+t(n\ -n''\ )=&n\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera $u$ et $t,$ et, par conséquent, la distance périhélie corrigée et le véritable instant du passage de la comète par ce point.

8^o Si l’on nomme $j$ la position du nœud qui serait ascendant si le mouvement de la comète était direct, et $\varphi$ l’inclinaison de l’orbite, on aura

${\begin{aligned}\operatorname {tang} j=&{\frac {\operatorname {tang} \varpi '\sin {\text{ϐ}}-\operatorname {tang} \varpi \sin {\text{ϐ}}'}{\operatorname {tang} \varpi '\cos {\text{ϐ}}-\operatorname {tang} \varpi \cos {\text{ϐ}}'}},\\\operatorname {tang} \varphi =&{\frac {\operatorname {tang} \varpi '}{\sin({\text{ϐ}}'-j)}}\end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}\operatorname {tang} j=&{\frac {\operatorname {tang} \varpi ''\sin {\text{ϐ}}-\operatorname {tang} \varpi \sin {\text{ϐ}}''}{\operatorname {tang} \varpi ''\cos {\text{ϐ}}-\operatorname {tang} \varpi \cos {\text{ϐ}}''}},\\\operatorname {tang} \varphi =&{\frac {\operatorname {tang} \varpi ''}{\sin({\text{ϐ}}''-j)}}.\end{aligned}}$

Supposons que, pour déterminer les angles $j$ et $\varphi ,$ on se serve des deux dernières formules, il est visible que la tangente de $j$ peut également appartenir aux deux angles $j$ et $180^{\circ }+j,\ j$ étant le plus petit des angles positifs auxquels elle puisse appartenir. Pour déterminer lequel de ces deux angles il faut employer, on observera que $\varphi$ et $\operatorname {tang} \varphi$ doivent être positifs, et qu’ainsi $\sin({\text{ϐ}}''-j)$ doit être de même signe que $\operatorname {tang} \varpi ''\,;$ cette condition déterminera l’angle $j,$ et cet angle