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Il faudra même employer cette équation de préférence à l’équation (2), si l’on a $l>b\,;$ et alors ce sera l’équation (2) qui servira de vérification.

Ayant ainsi les valeurs de $x,y$ et $r,$ on formera la quantité

$\mathrm {P} ={\frac {x}{\cos \theta }}(y+hx\operatorname {tang} \theta )+\mathrm {R} y\cos(\mathrm {A} -\alpha )$

$+x\left[(\mathrm {\mathrm {R} } '-1)\cos(\mathrm {\mathrm {A} } -\alpha )-{\frac {\sin(\mathrm {\mathrm {A} } -\alpha )}{\mathrm {\mathrm {R} } }}\right]+\mathrm {R} ax\sin(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R(R'-1)} .$

La distance périhélie $\mathrm {D}$ de la comète sera

$\mathrm {D} =r-{\frac {1}{2}}\mathrm {P} ^{2}\,;$

le cosinus de l’anomalie $\upsilon$ de la comète sera

$\cos \upsilon ={\frac {2\mathrm {D} }{r}}-1\,;$

d’où l’on conclura, par la Table du mouvement des comètes, le temps employé à parcourir l’angle $\upsilon \,;$ et, pour avoir l’instant du passage par le périhélie, il faudra ajouter ce temps à l’époque si $\mathrm {P}$ est négatif, et le soustraire si $\mathrm {P}$ est positif, parce que, dans le premier cas, la comète s’approche du périhélie, et que, dans le second cas, elle s’en éloigne.

6^o Relativement à la comète de 1773, l’époque étant fixée comme ci-dessus au 13 novembre, à $17^{\mathrm {h} }$ temps moyen, on a

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ =&52^{\circ }11'7'',\\\mathrm {R} \ =&0{,}98837,\\\mathrm {R} '=&0{,}98816.\end{aligned}}$

Les équations (1), (2) et (3) deviennent

${\begin{aligned}r^{2}&=1{,}06794x^{2}-0{,}818337x+0{,}976877,\\y\ &=-1,29604+0{,}384923x+{\frac {1{,}24749}{r^{3}}},\\0\ &=y^{2}+0{,}130036x^{2}+(0{,}260646y+0{,}654355x)^{2}\\&\ \qquad +1{,}85179y\quad -0{,}294309x\ \ +1{,}02367\ \ -{\frac {2}{r}}.\end{aligned}}$