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tions (5) et (8) ne seraient pas exactes ; elles cesseraient même d’avoir lieu si l’orbite de la comète était sur le plan de l’écliptique, car ces équations dépendent des valeurs de $u$ et de $\mu$ de l’article IV ; or ces valeurs deviennent ${\frac {0}{0}}$ lorsque $\theta =0$ et ${\frac {d\theta }{dt}}=0\,;$ elles deviennent encore ${\frac {0}{0}}$ lorsque la comète est en opposition et paraît monter perpendiculairerement à l’écliptique, c’est-à-dire lorsque $\mathrm {A} =\alpha$ et ${\frac {d\alpha }{dt}}=0.$ Il faut recourir, dans le premier cas, aux équations (9) et (10), et, dans le second cas, aux équations (10) et (11) ; ainsi, quand même ces équations n’auraient pas l’avantage de s’appuyer moins sur les observations que les autres, elles mériteraient la préférence en ce qu’elles ont lieu généralement, quel que soit le mouvement apparent de la comète, pourvu que son orbite soit parabolique. Il est essentiel, dans leur usage, de bien déterminer toutes les valeurs réelles et positives qu’elles donnent pour $\rho \,;$ en supposant, par exemple, que les équations (9) et (10) donnent pour cette inconnue plusieurs racines réelles et positives, il faudra choisir celle qui satisfait à l’équation (11) ; mais, si l’orbite de la comète est très peu inclinée à l’écliptique, auquel cas l’équation (11) cesse d’avoir lieu, il faut nécessairement recourir à une quatrième observation ; d’où il suit que, dans ce cas, trois observations sont insuffisantes pour déterminer cette orbite. Pareillement, si les équations (10) et (11) donnent plusieurs valeurs positives de $\rho ,$ il faudra choisir celle qui satisfait à l’équation (9).

Remarque II. – Il est facile de se convaincre que la méthode fondée sur les équations (9) et (10) n’est qu’une traduction analytique de la méthode du troisième Livre des Principes de Newton, en y supposant les intervalles entre les observations infiniment petits. Ce grand géomètre étend à la vérité cette méthode à des intervalles finis assez considérables, au moyen de quelques corrections qu’il indique ; mais, sans examiner ici jusqu’à quel point ces corrections sont exactes, nous observerons qu’elles rendent l’usage de cette méthode assez difficile, et qu’il est beaucoup plus simple de chercher, comme nous l’avons fait, par l’interpolation de plusieurs observations, des valeurs