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rejette celle-ci ${\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\,;$ si l’on reprend les équations (1), (2) et (3) de l’article IV, que l’on multiplie la première par $\cos \alpha$ et qu’on l’ajoute si la seconde multipliée par $\sin \alpha \,;$ si l’on observe ensuite que

$\left({\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{r^{3}}}\right)\cos \alpha +\left({\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{r^{3}}}\right)\sin \alpha =\mathrm {R} \cos(\mathrm {A} -\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right),$

on aura

$0=\mathrm {R} \cos(\mathrm {A} -\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)+{\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}\cos \theta$

$-2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta -\rho {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\sin \theta -\rho \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\cos \theta -\rho \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\cos \theta +{\frac {\rho \cos \theta }{r^{3}}}.$

Si l’on multiplie cette équation par $\sin \theta ,$ et qu’on en retranche l’équation (3) multipliée par $\cos \theta ,$ on aura

$2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}+\rho \left[{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right]=\mathrm {R} \sin \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right),$

équation qui, en y substituant ${\frac {\rho '}{\cos \theta }}$ au lieu de $\rho ,$ devient

(11)

$\left\{{\begin{aligned}2&{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\rho '}{dt}}+\rho '\left[{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta +2\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\operatorname {tang} \theta \right]\\&=\mathrm {R} \sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right).\end{aligned}}\right.$

On déterminera, au moyen des deux équations (10) et (11), les valeurs de $\rho '$ et ${\frac {d\rho '}{dt}}\,;$ l’équation finale en $\rho ',$ à laquelle conduirait l’élimination, serait encore du seizième degré ; il sera donc beaucoup plus simple de parvenir à déterminer $\rho '$ par quelques essais.

Remarque I. – Les deux méthod(»s fondées sur les équations (9), (10) et (11) me paraissent être les plus exactes que l’on puisse employer dans la détermination approchée des orbites des comètes ; il faudra faire usage des deux premières équations, si les différences secondes de la longitude géocentrique sont plus considérables que celles de la latitude géocentrique : mais, si elles sont moindres, il faudra faire usage des équations (10) et (11). Si l’orbite de la comète était peu inclinée à l’écliptique, les méthodes fondées sur les équa-