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l’équation

$-2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta +\rho \left(2{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta -{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\cos \theta \right)$

$=\mathrm {R} \sin(\mathrm {A} -\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)$

trouvée dans l’article IV. Si, au lieu de la distance réelle $\rho$ de la comète à la Terre, on prend pour inconnue la projection $\rho \cos \theta$ de cette distance sur le plan de l’écliptique, en nommant $\rho '$ cette projection, on aura

(9)

$-2{\frac {d\rho '}{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}-\rho '{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}=\mathrm {R} \sin(\mathrm {A} -\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right),$

$r^{2}$ étant égal à

${\frac {\rho '^{2}}{\cos \theta ^{2}}}+2\mathrm {R} \rho '\cos(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R} ^{2}\,;$

l’équation (7) de l’article précédent deviendra

(10)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\left({\frac {d\rho '}{dt}}\right)^{2}+\rho '^{2}\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\rho '}{dt}}\operatorname {tang} \theta +{\frac {\rho '{\cfrac {d\theta }{dt}}}{\cos ^{2}\theta }}\right)^{2}\\&+2{\frac {d\rho '}{dt}}\left[(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {A} -\alpha )-{\frac {\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]\\&+2\rho '{\frac {d\alpha }{dt}}\left[(\mathrm {R} '-1)\sin(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {\cos(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {2}{r}}\,;\end{aligned}}\right.$

si l’on éliminait ${\frac {d\rho '}{dt}}$ de cette équation, au moyen de l’équation (9), on aurait une équation qui, délivrée de fractions, renfermerait un terme multiplié par $r^{6}\rho '^{2}$ et d’autres termes multipliés par les puissances impaires de $r$ au-dessous de $6.$ En mettant donc dans un seul membre tous les termes affectés de ces puissances impaires, et élevant les deux membres au carré pour n’avoir que des puissances paires de $r\,;$ en substituant ensuite au lieu de $r^{2}$ sa valeur en $\rho ',$ le terme multiplié par $r^{6}\rho '^{2}$ en produira un multiplié par $r^{12}\rho '^{4},$ ce qui donnera un terme multiplié par $\rho '^{16},$ en sorte que l’équation finale en $\rho '$ sera du seizième degré ; mais, au lieu de former cette équation, il sera beaucoup plus simple de satisfaite par des essais aux équations (9) et (10).