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si l’on y substitue, au lieu de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {dz}{dt}},$ leurs valeurs trouvées dans l’article précédent, et ensuite $u\rho$ au lieu de ${\frac {d\rho }{dt}},\ u$ étant connu par l’article IV, on aura, après toutes les réductions et en négligeant le carré de $\mathrm {R} '-1,$

(7)

$\left\{{\begin{aligned}&0=\rho ^{2}\left[u^{2}+\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\cos ^{2}\theta \right]\\&+\left(2\rho u\cos \theta -2\rho {\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta \right)\left[(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {A} -\alpha )-{\frac {\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]\\&+2\rho {\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta \left[(\mathrm {R} '-1)\sin(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {\cos(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {2}{r}}.\end{aligned}}\right.$

Soit, pour abréger,

$u^{2}+\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}+\cos ^{2}\theta =m,$

${\begin{aligned}\left(2u\cos \theta -2{\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta \right)&\left[(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {A} -\alpha )-{\frac {\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]\\+2{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta &\left[(\mathrm {R} '-1)\sin(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {\cos(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]=n,\end{aligned}}$

l’équation précédente donnera

$r^{2}\left(m\rho ^{2}+n\rho +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}=4,$

partant

(8)

$0=\left[\rho ^{2}+2\mathrm {R} \rho \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R} ^{2}\right]\left(m\rho ^{2}+n\rho +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}-4\,;$

cette équation, qui n’est que du sixième degré, présente, sous ce rapport, une plus grande simplicité que l’équation (5) de l’article IV. Ces deux équations, ayant lieu à la fois, ont un commun diviseur, et, en le cherchant par les méthodes connues, on aura sans tâtonnement la valeur de $\rho .$ En effet, si l’on suppose ${\frac {1}{r}}=x,$ on parviendra facilement