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ce qui donne

$t=p^{\frac {3}{2}}\int {\frac {d\upsilon }{(1+e\cos \upsilon )^{2}}},$

l’intégrale étant prise depuis $\upsilon =0$ jusqu’à $\upsilon$ égal à l’angle dont le cosinus est ${\frac {p-r}{re}}\,;$ ce temps, ajouté ou retranché de celui de l’observation, suivant que la comète a ou n’a pas encore passé par le périhélie, donnera l’instant de son passage par ce point.

Enfin on aura la position du périhélie relativement au nœud ascendant, en déterminant la position de la comète sur son orbite relativement à ce nœud, et en lui ajoutant l’angle $\upsilon ,$ si, le mouvement de la comète étant direct, elle n’a pas encore passé par son périhélie, ou si, son mouvement étant rétrograde, elle y a déjà passé : dans les autres cas, il faudra retrancher l’angle $\upsilon$ de la position de la comète ; nous supposons toujours que les degrés se comptent suivant l’ordre des signes.

VI.

Tous les éléments de l’orbite de la comète étant donnés, par ce qui précède, en fonctions de $\rho ,$ si l’un de ces éléments était connu, on aurait une nouvelle équation au moyen de laquelle on pourrait déterminer $\rho .$ Cette équation aurait un diviseur commun avec équation (5) de l’article IV, et, en cherchant ce diviseur par les méthodes connues, on parviendrait à une équation du premier degré en $\rho .$ On aurait de plus une équation de condition entre les observations, et cette équation serait celle qui doit avoir lieu pour que l’élément donné puisse appartenir à l’orbite de la comète. Appliquons maintenant cette considération à la nature ; pour cela, nous observerons que les orbites que décrivent les comètes sont très allongées et se confondent sensiblement avec une parabole dans la partie dans laquelle ces astres sont visibles ; on peut donc supposer, sans erreur sensible, $a=\infty ,$ partant ${\frac {1}{a}}=0\,;$ l’équation (6) de l’article précédent deviendra ainsi

$0={\frac {2}{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\,;$