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et la relation connue entre la vitesse de la comète, le grand axe et le rayon vecteur donne

${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-\mathrm {V} ^{2},$

$\mathrm {V}$ étant la vitesse de la comète. Maintenant ${\frac {1}{2}}r^{2}d\upsilon$ est le secteur infiniment petit décrit par le rayon vecteur de la comète dans l’instant $dt,$ et sa projection sur le plan de l’écliptique est ${\frac {1}{2}}r^{2}d\upsilon \cos \varphi \,;$ mais cette projection est égale à ${\frac {xdy-ydx}{2}},$ partant

$r^{2}{\frac {d\upsilon }{dt}}={\frac {x{\cfrac {dy}{dt}}-y{\cfrac {dx}{dt}}}{\cos \varphi }},$

d’où l’on tire

$p={\frac {\left(x{\cfrac {dy}{dt}}-y{\cfrac {dx}{dt}}\right)^{2}}{\cos ^{2}\varphi }}.$

La vitesse $\mathrm {V}$ de la comète étant égale à ${\frac {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}{dt}},$ on a

(6)

${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2},$

$r$ étant égal à ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\,;$ on aura ainsi le grand axe et le paramètre de l’orbite, et l’on déterminera l’excentricité au moyen de l’équation

$e={\sqrt {1-{\frac {p}{a}}}}.$

L’équation $\cos \upsilon ={\frac {p-r}{re}}$ donnera la distance de la comète à son périhélie, et le signe de $r{\frac {dr}{dt}},$ ou, ce qui revient au même, de $x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}+z{\frac {dz}{dt}}$ fera connaître si la comète a déjà passé par ce point, car elle y tend où elle s’en éloigne, suivant que cette quantité est négative ou positive.

Le temps du passage par le périhélie se déterminera au moyen de l’équation

$dt{\sqrt {p}}=r^{2}d\upsilon ={\frac {p^{2}d\upsilon }{(1+e\cos \upsilon )^{2}}},$