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très peu considérable, on aura $\mathrm {R} ''=1,$ partant

${\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=\mathrm {R} '-1\,;$

moyennant quoi, les valeurs précédentes de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {dz}{dt}}$ deviendront

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=&(\mathrm {R} '-1)\cos \mathrm {A} -\mathrm {\frac {\sin A}{R}} \\&\qquad \qquad +{\frac {d\rho }{dt}}\cos \theta \cos \alpha -\rho \left({\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta \cos \alpha +{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta \sin \alpha \right),\\{\frac {dy}{dt}}=&(\mathrm {R} '-1)\sin \mathrm {A} +\mathrm {\frac {\cos A}{R}} \\&\qquad \qquad +{\frac {d\rho }{dt}}\cos \theta \sin \alpha -\rho \left({\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta \sin \alpha -{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta \cos \alpha \right),\\{\frac {dz}{dt}}=&{\frac {d\rho }{dt}}\sin \theta +\rho {\frac {d\theta }{dt}}\cos \theta .\end{aligned}}$

$\mathrm {R,R'}$ et $\mathrm {A}$ étant donnés immédiatement par les Tables du Soleil, le calcul des six quantités $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {dz}{dt}}$ sera très facile lorsque $\rho$ sera connu, et l’on en tirera les éléments de l’orbite de la comète de la manière suivante.

Le mouvement de la comète autour du Soleil étant renfermé dans les trois équations différentielles du second ordre

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{r^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{r^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{2}}}=0,$

leurs intégrales renferment six constantes arbitraires qui sont les éléments de son orbite ; de plus, ces intégrales avec leurs premières différences forment six équations, au moyen desquelles on pourra déterminer chacune des constantes arbitraires en fonctions de $x,y,z,$${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {dz}{dt}},$ et par conséquent en quantités connues : on aura donc ainsi la nature et la position de l’orbite de la comète. Développons cette méthode.

Le petit secteur décrit, durant l’élément de temps $dt,$ par la projection du rayon vecteur de la comète sur le plan de l’écliptique, est ${\frac {xdy-ydx}{2}},$ et il est visible que le mouvement de la comète sera direct ou rétrograde, selon que ce secteur sera positif ou négatif ; on formera