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bite terrestre et $\mathrm {H}$ la longitude de son aphélie ; on a, par la nature du mouvement elliptique,

$\mathrm {R} ^{2}{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}={\sqrt {1-\mathrm {E} ^{2}}},$

partant

${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}={\frac {\sqrt {1-\mathrm {E} ^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}\,;$

on a ensuite

$\mathrm {R} ={\frac {1-\mathrm {E} ^{2}}{1-\mathrm {E} \cos(\mathrm {A} -\mathrm {H} )}},$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=&-\mathrm {\frac {E\left(1-E^{2}\right)\sin(A-H)}{\left[1-E\cos(A-H)\right]^{2}}} {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\\=&-{\frac {\mathrm {ER} ^{2}{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\sin(\mathrm {A-H} )}{1-\mathrm {E} ^{2}}}=-\mathrm {\frac {E\sin(A-H)}{\sqrt {1-E^{2}}}} .\end{aligned}}$

Si l’on nomme $\mathrm {R} '$ le rayon vecteur de la Terre correspondant à la longitude $90^{\circ }+\mathrm {A} ,$ on aura

$\mathrm {R'={\frac {1-E^{2}}{1+E\sin(A-H)}}} ,$

ce qui donne

$\mathrm {E\sin(A-H)={\frac {1-E^{2}-R'}{R'}}} ,$

partant

${\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=\mathrm {\frac {R'+E^{2}-1}{R'{\sqrt {1-E^{2}}}}} .$

Soit $\mathrm {R} ''$ le rayon vecteur de la Terre qui répond à $90^{\circ }$ d’anomalie vraie, on aura

$\mathrm {R''=1-E^{2}} \,;$

donc

${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}=\mathrm {\frac {\sqrt {R''}}{R^{2}}} ,\qquad {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=\mathrm {\frac {R'-R''}{R'{\sqrt {R''}}}} \,;$

ces expressions ont l’avantage d’être données directement par les Tables du Soleil.

Si l’on néglige le carré de l’excentricité de l’orbite terrestre, qui est