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$\rho ,{\frac {d\alpha }{dt}},{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}},{\frac {d\theta }{dt}}$ et ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},$ et ces quatre équations seront d’autant plus approchées que l’on aura considéré un plus grand nombre de termes dans les séries précédentes ; on aura ainsi ${\frac {d\alpha }{dt}},{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}},{\frac {d\theta }{dt}}$ et ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ en fonctions de $\rho$ et de quantités connues ; $\mu$ sera donc une fonction de $\rho$ et de quantités connues ; d’où il suit que l’équation (5) ne renfermera point d’autres inconnues que $\rho \,;$ mais au lieu d’être, comme ci-dessus, du septième degré, elle sera d’un degré supérieur.

Au reste, cette méthode, que je n’expose ici que pour faire voir comment on peut, en ne considérant que trois observations, avoir des valeurs de plus en plus approchées de $\rho$ et de ${\frac {d\rho }{dt}},$ exigerait dans la pratique des calculs très pénibles ; mais, comme il ne s’agit, dans ce problème, que d’avoir les premières valeurs de ces quantités que l’on pourra ensuite facilement corriger par les méthodes connues, on peut négliger, dans les séries précédentes, les termes multipliés par les différences troisièmes de $\alpha$ et de $\theta$ par leurs différences supérieures. Or, si l’on multiplie la première série par $i'^{2}$ et la seconde par $i^{2},$ et qu’on les retranche l’une de l’autre, on aura

${\frac {d\alpha }{dt}}={\frac {(\mathrm {L} ''-\mathrm {L} ')i^{2}+(\mathrm {L} '-\mathrm {L} )i'^{2}}{ii'(i+i')q}}-{\frac {ii'q^{2}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}+\ldots .$

Si l’on multiplie ensuite la première série par $i'$ et la seconde par $i,$ et qu’on les ajoute l’une à l’autre, on aura

${\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}=2{\frac {(\mathrm {L} ''-\mathrm {L} ')i-(\mathrm {L} '-\mathrm {L} )i'}{ii'(i+i')q^{2}}}-{\frac {2(i'-i)}{1.2.3}}q{\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}+\ldots .$

On aura les valeurs de ${\frac {d\theta }{dt}}$ et ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ en changeant dans ces équations $\mathrm {L}$ en $l$ et $\alpha$ en $\theta .$ En négligeant donc les différences troisièmes de $\alpha ,$ on aura

${\frac {d\alpha }{dt}}={\frac {(\mathrm {L} ''-\mathrm {L} ')i^{2}+(\mathrm {L} '-\mathrm {L} )i'^{2}}{ii'(i+i')q}},$

et cette expression sera exacte aux quantités près de l’ordre $q^{2}\,;$ on