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Or, si l’on prend les différences des équations (1), (2) et (3), on aura trois nouvelles équations qui donneront ${\frac {d^{3}\rho }{dt^{3}}},{\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}$ et ${\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}},$ en fonctions de $\rho ,\alpha$ et $\theta$ et de leurs différences inférieures. En différentiant encore ces nouvelles équations, on aura trois autres équations, au moyen desquelles on déterminera ${\frac {d^{4}\rho }{dt^{4}}},{\frac {d^{4}\alpha }{dt^{4}}}$ et ${\frac {d^{4}\theta }{dt^{4}}},$ en fonctions de $\rho ,\alpha$ et $\theta$ et de leurs différences inférieures, et l’on pourra, en y substituant, au lieu des différences troisièmes ${\frac {d^{3}\rho }{dt^{3}}},{\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}$ et ${\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}},$ leurs valeurs, réduire ces fonctions à ne renfermer que les quantités $\rho ,\alpha$ et $\theta$ et leurs différences premières et secondes. En continuant ainsi, on aura les différences quelconques de $\rho ,\alpha$ et $\theta$ en fonctions de ces quantités et de leurs premières et secondes différences ; on pourra même en éliminer les quantités ${\frac {d\rho }{dt}}$ et ${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}$ au moyen des équations (1), (2) et (3), et les réduire à n’être fcmctions que de $\rho ,{\frac {d\alpha }{dt}},{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}},{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ et de quantités connues.

Cela posé, soient $\mathrm {L,L',L''}$ les trois longitudes géocentriques observées de la comète ; $l,l',l''$ les trois latitudes correspondantes ; soient $i$ le nombre des jours qui séparent les deux premières observations ; $i'$ celui des jours qui séparent la seconde de la troisième, et nommons $q$ l’arc que décrit la Terre en un jour, par son moyen mouvement ; on fera $\alpha =\mathrm {L} ',\ \theta =l',$ et l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ \ =&\mathrm {L} '-i\,q{\frac {d\alpha }{dt}}+{\frac {i^{2}q^{2}}{1.2}}\ {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-{\frac {i^{3}q^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}+\ldots ,\\\mathrm {L} ''=&\mathrm {L} '+i'q{\frac {d\alpha }{dt}}+{\frac {i'^{2}q^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}+{\frac {i'^{3}q^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}+\ldots ,\\l\ \ \ =&l'\ \ -i\,\ q{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {i^{2}q^{2}}{1.2}}\ {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}-{\frac {i^{3}q^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}+\ldots ,\\l''\ =&l'\ \ +i'\,q{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {i'^{2}q^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {i'^{3}q^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

$iq$ et $i'q$ étant de petits arcs. Si l’on substitue présentement dans ces séries, au lieu de ${\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}},{\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}},{\frac {d^{4}\alpha }{dt^{4}}},{\frac {d^{4}\theta }{dt^{4}}},\ldots ,$ leurs valeurs trouvées par ce qui précède, on aura quatre équations entre les cinq inconnues