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Remarque I. – L’équation (5) a généralement lieu quelle que soit la nature de la section conique que décrit la comète ; toutes les racines réelles et positives de cette équation donneront autant de sections coniques différentes qui satisferont à trois observations voisines, en sorte que, pour déterminer l’orbite véritable, il faudra employer une nouvelle observation.

Il est facile de conclure de l’équation (4) que, si $\mu$ est positif, le rayon vecteur $r$ de la comète sera moindre que $\mathrm {R} \,;$ qu’il lui sera égal si $\mu =0,$ et qu’il sera plus grand si $\mu$ est négatif. Le signe de $\mu$ fera donc connaître si la comète est plus ou moins éloignée du Soleil que la Terre.

Remarque II. – La valeur de $\rho ,$ tirée de l’équation (5), serait rigoureuse sis $\alpha ,{\frac {d\alpha }{dt}},{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}},\theta ,{\frac {d\theta }{dt}}$ et ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ étaient exactement connus ; mais ces quantités ne le sont qu’à peu près. Nous avons, à la vérité, donné dans l’article II une méthode pour en approcher de plus en plus, en faisant usage d’un grand nombre d’observations, et cette méthode a, comme nous l’avons remarqué, l’avantage de considérer d’assez grands intervalles et de compenser les unes par les autres les erreurs des observations ; elle a cependant l’inconvénient analytique d’employer plus de trois observations dans un problème où trois suffisent. Mais on peut obvier à cet inconvénient de la manière suivante et rendre notre solution aussi approchée que l’on voudra en ne considérant que trois observations.

Pour cela, supposons que $\alpha$ et $\theta$ représentent la longitude et la latitude de l’observation intermédiaire ; il s’agit d’avoir les quatre quantités ${\frac {d\alpha }{dt}},{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}},{\frac {d\theta }{dt}}$ et ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ par des formules de plus en plus approchées.

lui communiquai, dans une Lettre datée du 21 mai 1781, l’extrait de ce Mémoire, et il me fit l’honneur de me répondre que, cet extrait l’ayant fait revenir sur sa première solution, il était parvenu aux mêmes résultats que moi, sur la vérité de cette équation du septième degré et sur l’existence d’une seconde équation du sixième degré, dans le cas de l’orbite parabolique : les réflexions qu’il a faites à ce sujet ont donné lieu à un nouveau Mémoire qu’il a lu à l’Académie de Berlin et dont il a bien voulu m’envoyer l’extrait d’avance.