plus pour abréger
![{\displaystyle \mu ={\frac {{\frac {d\alpha }{dt}}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\cos \theta -{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\cos \theta +\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{3}\sin \theta \cos ^{2}\theta +2{\frac {d\alpha }{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\sin \theta }{{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {d\theta }{dt}}\sin(\mathrm {A} -\alpha )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d9c7a44d4cf1de61a6d21bb9ef0ce6da542f89)
on aura l’équation suivante
(4)
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pour la réduire à ne renfermé que
nous observons que
![{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c930d2f4e7522ec9b4fa9a6ff8e4bac751ae6fab)
ce qui donne, en substituant pour
et
leur valeur,
![{\displaystyle r^{2}=x'^{2}+y'^{2}+2\rho x'\cos \theta \cos \alpha +2\rho y'\cos \theta \sin \alpha +\rho ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a702606fa0ed84d3753fdebf2ab6e93d1ec9df1f)
or on a
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}=\mathrm {R} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe8596ec9d792120a294f04ee77c146e345bbf6)
d’ailleurs
![{\displaystyle x'=\mathrm {R\cos A} \qquad {\text{et}}\qquad y'=\mathrm {R\sin A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a091b15a99a86138ec55d5057a01a52e23f7e3)
partant
![{\displaystyle r^{2}=\rho ^{2}+2\mathrm {R} \rho \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192d2ba7ac35eda52837362eb43d80f94da58b33)
si l’on met l’équation (4) sous cette forme
![{\displaystyle r^{3}\left(\mu \mathrm {R} ^{2}\rho +1\right)=\mathrm {R} ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52270fa03ee5778dc5704851ae6ce35a361863e)
on aura, en carrant ses deux membres et en substituant au lieu de sa valeur,
(5)
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équation dans laquelle il n’y a d’inconnues que
et qui monte au septième degré seulement, parce que, le terme tout connu du premier membre étant égal à
l’équation entière est divisible par
[1].
- ↑ L’équation (5) est un peu différente de celle à laquelle M. de la Grange est parvenu dans son second mémoire sur la détermination des orbites des comètes (Mémoires de Berlin, années 1778, p. 140) ; il trouve pour
une équation du huitième degré, et qui ne s’abaisse au septième qu’en négligeant l’excentricité de l’orbite terrestre ; cette différence entre nos résultats tient à une légère méprise de calcul échappée à ce grand analyste. Je