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plus pour abréger

$\mu ={\frac {{\frac {d\alpha }{dt}}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\cos \theta -{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\cos \theta +\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{3}\sin \theta \cos ^{2}\theta +2{\frac {d\alpha }{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\sin \theta }{{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {d\theta }{dt}}\sin(\mathrm {A} -\alpha )}},$

on aura l’équation suivante

(4)

$\rho ={\frac {\mathrm {R} }{\mu }}\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)\,;$

pour la réduire à ne renfermé que $\rho ,$ nous observons que

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

ce qui donne, en substituant pour $x,y$ et $z$ leur valeur,

$r^{2}=x'^{2}+y'^{2}+2\rho x'\cos \theta \cos \alpha +2\rho y'\cos \theta \sin \alpha +\rho ^{2}\,;$

or on a

$x'^{2}+y'^{2}=\mathrm {R} ^{2}\,;$

d’ailleurs

$x'=\mathrm {R\cos A} \qquad {\text{et}}\qquad y'=\mathrm {R\sin A} ,$

partant

$r^{2}=\rho ^{2}+2\mathrm {R} \rho \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R} ^{2}.$

si l’on met l’équation (4) sous cette forme

$r^{3}\left(\mu \mathrm {R} ^{2}\rho +1\right)=\mathrm {R} ^{3},$

on aura, en carrant ses deux membres et en substituant au lieu de sa valeur,

(5)

$\left[\rho ^{2}+2\mathrm {R} \rho \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R} ^{2}\right]^{3}\left(\mu \mathrm {R} ^{2}\rho +1\right)^{2}=\mathrm {R} ^{6},$

équation dans laquelle il n’y a d’inconnues que $\rho$ et qui monte au septième degré seulement, parce que, le terme tout connu du premier membre étant égal à $\mathrm {R} ^{6},$ l’équation entière est divisible par $\rho$^[1].

1. L’équation (5) est un peu différente de celle à laquelle M. de la Grange est parvenu dans son second mémoire sur la détermination des orbites des comètes (Mémoires de Berlin, années 1778, p. 140) ; il trouve pour $\rho$ une équation du huitième degré, et qui ne s’abaisse au septième qu’en négligeant l’excentricité de l’orbite terrestre ; cette différence entre nos résultats tient à une légère méprise de calcul échappée à ce grand analyste. Je