quation (3), multipliée par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&-2{\frac {d\rho }{dt}}\left[{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {d\theta }{dt}}\sin(\mathrm {A} -\alpha )\right]\\&-\rho \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\sin &(\mathrm {A} -\alpha )-2{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\sin ^{2}\theta \cos(A-\alpha )\\&+{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )\\&+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\end{aligned}}\right\}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b713bf7067b471c073810332b1f7b13dd80641)
donc, si l’on fait
on aura
![{\displaystyle u=-{\frac {1}{2}}{\frac {\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\\-2{\frac {d\alpha }{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}\sin ^{2}\theta \cos(A-\alpha )+{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\sin(\mathrm {A} -\alpha )\end{aligned}}\right\}}{{\cfrac {d\alpha }{dt}}\sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )+{\cfrac {d\theta }{dt}}\sin(\mathrm {A} -\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34c6348c1bcb10a20faa97b0c72892032b4b574)
expression dans laquelle on peut observer que le numérateur est égal au produit de la différence du dénominateur par
étant regardé comme constant.
Si l’on multiplie maintenant l’équation (1) par
et que l’on en retranche l’équation (2) multipliée par
si l’on observe d’ailleurs que
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{r^{3}}}\right)\sin \alpha -\left({\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{r^{3}}}\right)\cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e79a8fe1c37be5fe821be49dd7446fdffc6501)
![{\displaystyle =\mathrm {R} \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)\left(\sin \alpha \cos \mathrm {A} -\cos \alpha \sin \mathrm {A} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbc4c4e801ddf8bcdaaec5c38dd3d1b62e7ef55)
on aura
![{\displaystyle -2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta +\rho \left(2{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta -{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\cos \theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e825d46dd85cd9152459e10c8f845c9e63a8e7f8)
![{\displaystyle =\mathrm {R} \sin(\mathrm {A} -\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2800c00b2f04c58fc9527c67a49f37c83a05cab)
Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
sa valeur
et, au lieu de
l’expression que nous venons d’en trouver ; si l’on fait de