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de $\rho$ et des ${\frac {d\rho }{dt}}.$ Si l’on nomme $\mathrm {R}$ le rayon vecteur de la Terre, on aura, par la théorie des forces centrales,

$0={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{\mathrm {R} ^{3}}}\qquad 0={\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{\mathrm {R} ^{3}}},$

ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{r^{3}}}=&x'\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right),\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{r^{3}}}=&y'\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on désigne ensuite par $\mathrm {A}$ la longitude de la Terre vue du Soleil, on aura

$x'=\mathrm {R} \cos \mathrm {A} ,\qquad y'=\mathrm {R} \sin \mathrm {A} .$

Cela posé, on multipliera l’équation (1) par $\sin \mathrm {A}$ et l’un en retranchera l’équation (2) multipliée par $\cos \mathrm {A} ,$ et, comme on a

$\left({\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{r^{3}}}\right)\sin \mathrm {A} -\left({\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{r^{3}}}\right)\cos \mathrm {A}$

${\begin{aligned}&=\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)\left(x'\sin \mathrm {A} -y'\cos \mathrm {A} \right)\\&=\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)\left(\mathrm {R\cos A\sin A-R\sin A\cos A} \right)=0,\end{aligned}}$

on aura l’équation suivante

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )-2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\\&-2{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )-\rho {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\sin \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\\&-\rho \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )+2\rho {\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\alpha }{dt}}\sin \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )\\&-\rho {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )-\rho \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )\\&+{\frac {\rho \cos \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )}{r^{3}}}.\end{aligned}}$

Si l’on multiplie cette équation par $\sin \theta$ et que l’on en retranche l’é-