Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/121

des $z\,;$ si l’on nomme pareillement $\mathrm {X',Y'}$ et $\mathrm {Z} '$ celles dont le second corps est animé parallèlement aux mêmes axes, et ainsi du reste, on aura

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\mathrm {X} ,\qquad &{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}=&\mathrm {X} ',\qquad \ldots ,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y} ,&{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y} ',\qquad \ldots ,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\mathrm {Z} ,&{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}=&\mathrm {Z} ',\qquad \ldots .\end{alignedat}}$

Supposons que les forces $\mathrm {X,Y,Z,X',Y',Z'} ,\ldots$ soient le résultat des forces attractives de ces corps entre eux et de corps étrangers dont le mouvement soit connu ; dans ce cas, $\mathrm {X,Y,Z,X',Y',Z'} ,\ldots$ seront donnés en fonctions de $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots ,\theta ,\theta ',\theta '',\ldots ,\rho ,\rho ',\rho '',\ldots$ et de quantités connues ; en substituant donc dans les équations précédentes, au lieu de $x,y,z,$$x',y',z',\ldots$ leurs valeurs en $\alpha ,\theta ,\rho ,\alpha ',\theta ',\rho ',\ldots ,$ ces corps étant supposés au nombre $n,$ les $3n$ équations différentielles précédentes donneront autant d’équations entre les $3n$ quantités $\rho ,{\frac {d\rho }{dt}},{\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}},\rho ',{\frac {d\rho '}{dt}},{\frac {d^{2}\rho '}{dt^{2}}},\ldots$ que l’on pourra ainsi déterminer ; on aura même cet avantage que ${\frac {d\rho }{dt}},{\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}},{\frac {d\rho '}{dt}},\ldots$ ne se présenteront dans ces équations que sous une forme linéaire. Supposons que l’on puisse parvenir à intégrer ces $3n$ équations différentielles ; chacune d’elles donnant, par l’intégration, deux constantes arbitraires, on aura en tout $6n$ arbitraires qui seront les éléments des orbites des différents corps ; mais les $3n$ intégrales finies, avec leurs premières différences, donneront $6n$ équations au moyen desquelles on pourra déterminer toutes ces arbitraires en fonctions de $x,{\frac {dx}{dt}},y,{\frac {dy}{dt}},z,{\frac {dz}{dt}},x',{\frac {dx'}{dt}},\ldots$ et, par conséquent, en fonctions des quantités $\alpha ,\theta ,\rho ,{\frac {d\alpha }{dt}},{\frac {d\theta }{dt}},{\frac {d\rho }{dt}},$$\alpha ',\theta ',\rho ',\ldots ,$ que l’on connaît par ce qui précède : on aura donc, par cette méthode, les éléments des orbites de tous ces corps.