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pend l’exactitude des résultats suivants, et, comme leur formation est très simple, il faut choisir et multiplier les observations de manière à les obtenir avec autant de rigueur que les observations le comportent.

Lorsqu’on à ces six quantités, on peut déterminer par une analyse rigoureuse les éléments de l’orbite de la comète, quelle que soit d’ailleurs sa nature, pourvu que l’on connaisse les forces dont la comète est animée : cette détermination est comprise dans la solution générale du problème suivant.

III.

Imaginons que d’un point qui se meut sur une courbe donnée on observe le mouvement de tant de corps que l’on voudra, animés par des forces quelconques dont on connaît la loi, et proposons-nous de déterminer les éléments de leurs orbites.

En nommant $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ les longitudes apparentes de ces différents corps, rapportées à un plan fixe quelconque ; $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ leurs latitudes ; les observations feront connaître, par ce qui précède, pour un instant donné, les valeurs de

${\begin{array}{llllllllll}\alpha ,&{\frac {d\alpha }{dt}},&{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}},&\quad \alpha ',&{\frac {d\alpha '}{dt}},&{\frac {d^{2}\alpha '}{dt^{2}}},&\quad \alpha '',&{\frac {d\alpha ''}{dt}},&{\frac {d^{2}\alpha ''}{dt^{2}}},&\quad \ldots ,\\\theta ,&{\frac {d\theta }{dt}},&{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},&\quad \theta ',&{\frac {d\theta '}{dt}},&{\frac {d^{2}\theta '}{dt^{2}}},&\quad \theta '',&{\frac {d\theta ''}{dt}},&{\frac {d^{2}\theta ''}{dt^{2}}},&\quad \ldots .\end{array}}$

Soient $\rho ,\rho ',\rho '',\ldots$ les distances respectives de ces corps à l’observateur, et nommons $x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',\ldots$ leurs coordonnées rectangles rapportées au plan fixe, et dont l’origine soit sur un point de ce plan ; on aura les valeurs de $x,y,z$ en fonctions de $\alpha ,\theta ,\rho$ et de quantités relatives au mouvement de l’observateur qui, par la supposition, est connu ; on aura pareillement $x',y',z'$ en fonctions de $\alpha ',\theta ',\rho '$ et de quantités relatives au mouvement de l’observateur, et ainsi de suite. Maintenant, si l’on nomme $\mathrm {X}$ la force dont le premier corps est animé parallèlement à l’axe des $x\,;\ \mathrm {Y}$ celle dont il est animé parallèlement à l’axe des $y,$ et $\mathrm {Z}$ celle dont il est animé parallèlement à l’axe