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moyenne ${\text{ϐ}}^{(r)},$ en sorte que $p={\text{ϐ}}^{(r)}\,;$ on aura

$p={\text{ϐ}}^{(r)},$

${\frac {dp}{dz}}={\frac {1}{2i}}\left\{{\begin{aligned}\Delta {\text{ϐ}}^{(r)}+\Delta {\text{ϐ}}^{(r-1)}&-{\frac {1}{1.2.3}}\left(\Delta ^{3}{\text{ϐ}}^{(r-1)}+\Delta ^{3}{\text{ϐ}}^{(r-2)}\right)\\&+{\frac {2^{2}}{1.2.3.4.5}}\left(\Delta ^{5}{\text{ϐ}}^{(r-2)}+\Delta ^{5}{\text{ϐ}}^{(r-3)}\right)\\&-{\frac {2^{2}.3^{2}}{1.2.3.4.5.6.7}}\left(\Delta ^{7}{\text{ϐ}}^{(r-3)}+\Delta ^{7}{\text{ϐ}}^{(r-4)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}p}{1.2dz^{2}}}=&{\frac {\Delta ^{2}{\text{ϐ}}^{r-1}}{2i^{2}}}-{\frac {1}{2.3.4i^{2}}}\Delta ^{4}{\text{ϐ}}^{r-2}\\&+{\frac {2^{2}}{2.3.4.5.6i^{2}}}\Delta ^{6}{\text{ϐ}}^{r-3}-{\frac {2^{2}.3^{2}}{2.3.4.5.6.7.8i^{2}}}\Delta ^{8}{\text{ϐ}}^{r-4}+\ldots ,\end{aligned}}$

la caractéristique $\Delta$ étant celle des différences finies, en sorte que $\Delta {\text{ϐ}}^{(r)}={\text{ϐ}}^{(r+1)}-{\text{ϐ}}^{(r)}.$ Si le nombre des observations est pair et égal à $2r,$ on prendra pour époque le temps moyen entre la première et la dernière observation, et l’on aura

$p={\frac {1}{2}}\left\{{\begin{aligned}{\text{ϐ}}^{(r)}+{\text{ϐ}}^{(r-1)}&-{\frac {1}{2.4}}\Delta ^{2}\left({\text{ϐ}}^{(r-1)}+{\text{ϐ}}^{(r-2)}\right)\\&+{\frac {3^{2}}{2.4.6.8}}\Delta ^{4}\left({\text{ϐ}}^{(r-2)}+{\text{ϐ}}^{(r-3)}\right)\\&-{\frac {3^{2}.5^{2}}{2.4.6.8.10.12}}\Delta ^{6}\left({\text{ϐ}}^{(r-3)}+{\text{ϐ}}^{(r-4)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dz}}=&{\frac {\Delta {\text{ϐ}}^{r-1}}{i}}-{\frac {1}{4.6i}}\Delta ^{3}{\text{ϐ}}^{r-2}+{\frac {3^{2}}{4.6.8.10i}}\Delta ^{5}{\text{ϐ}}^{r-2}-\ldots ,\\{\frac {d^{2}p}{1.2dz^{2}}}=&{\frac {1}{4i^{2}}}\Delta ^{2}\left({\text{ϐ}}^{(r-1)}+{\text{ϐ}}^{(r-2)}\right)-{\frac {10}{4.6.8i^{2}}}\Delta ^{4}\left({\text{ϐ}}^{(r-2)}+{\text{ϐ}}^{(r-3)}\right)\\&+{\frac {259}{4.6.8.10.12i^{2}}}\Delta ^{6}\left({\text{ϐ}}^{(r-3)}+{\text{ϐ}}^{(r-4)}\right)-\ldots .\end{aligned}}$

Je ne donne point ici la démonstration de ces formules, parce qu’il est aisé de la déduire de celles que Newton et les géomètres qui l’ont suivi ont données sur l’interpolation des suites.