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rence est l’unité, et la caractéristique $d$ se rapportant à la variable $x_{1},$ dont la différence est conséquemment $dx_{1}.$

L’équation génératrice de la précédente est

$0=a+b\left({\frac {1}{t}}-1\right)-{\frac {1}{dx_{1}}}\left({\frac {1}{t_{1}^{dx_{1}}}}-1\right),$

d’où l’on tire, à l’infiniment petit près,

${\frac {1}{t^{x}}}={\frac {1}{(bdx_{1})^{x}}}\left[{\frac {1}{t_{1}^{dx_{1}}(1+adx_{1}-bdx_{1})}}-1\right]^{x}.$

Or, si l’on nomme $y_{x,x_{1}}$ le coefficient de $t^{x}t_{1}^{x_{1}}$ dans $u,$ le coefficient de $t^{0}t_{1}^{x_{1}}$ dans ${\frac {u}{t^{x}}}$ sera $y_{x,x_{1}}\,;$ ce même coefficient dans

$u\left[{\frac {1}{t_{1}^{dx_{1}}(1+adx_{1}-bdx_{1})}}-1\right]^{x}$

sera

$(1+adx_{1}-bdx_{1})^{\frac {x_{1}}{dx_{1}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {y_{0,x_{1}}+xdx_{1}}{(1+adx_{1}-bdx_{1})^{{\frac {x_{1}}{dx_{1}}}+x}}}-x{\frac {y_{0,x_{1}}+(x-1)dx_{1}}{(1+adx_{1}-bdx_{1})^{{\frac {x_{1}}{dx_{1}}}+x-1}}}\\&\qquad +{\frac {x(x-1)}{1.2}}{\frac {y_{0,x_{1}}+(x-2)dx_{1}}{(1+adx_{1}-bdx_{1})^{{\frac {x_{1}}{dx_{1}}}+x-2}}}-\ldots \end{aligned}}\right\}$

$\qquad =(1+adx_{1}-bdx_{1})^{\frac {x_{1}}{dx_{1}}}d^{x}{\frac {y_{0,x_{1}}}{(1+adx_{1}-bdx_{1})^{\frac {x_{1}}{dx_{1}}}}}.$

Or on a

$(1+adx_{1}-bdx_{1})^{\frac {x_{1}}{dx_{1}}}=e^{(a-b)x_{1}},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; le coefficient de $t^{0}t_{1}^{x_{1}}$ dans $u\left[{\frac {1}{t_{1}^{dx_{1}}(1+adx_{1}-bdx_{1})}}-1\right]^{x}$ sera donc

$e^{(a-b)x_{1}}d^{x}\left(y_{0,x_{1}}e^{(b-a)x_{1}}\right)\,;$

partant, on aura

$y_{x,x_{1}}={\frac {e^{(a-b)x_{1}}}{b^{x}}}{\frac {d^{x}\left(e^{(b-a)x_{1}}y_{0,x_{1}}\right)}{dx_{1}^{x}}}$

ou, plus simplement,

$y_{x,x_{1}}={\frac {e^{(a-b)x_{1}}}{b^{x}}}{\frac {d^{x}\varphi (x_{1})}{dx_{1}^{x}}},$

$\varphi (x_{1})$ étant une fonction arbitraire de $x_{1}.$