i = (V - v)/R ; dans le conducteur rho, l'intensité i'; la différentielle de la charge du condensateur K est :
K*dv = i*dt - (i')*dt.
c'est-à-dire:
K*dv = ((V - v)/R)*dt - (v/rho)*dt = [(((V — v)*(rho) - (v*R))/(R*rho))]*dt,
ou, en séparant les variables et en mettant en facteur les termes constants,
[(K*R*rho)/(R + rho)]*[dv/((V*rho/(R + rho)) - v)] = dt,
qu'on peut encore écrire
-dt*[(R + rho)/(K*R*rho)] = [dv/(v - (V*rho/(R + rho)))].
Cette différentielle a pour intégrale :
A - t*[(R + rho)/(K*R*rho)] = L*[(V*rho)/(R + rho) - v]
Si nous posons qu'à l'origine du temps la charge du condensateur était nulle, faisant dans l'équation précédente t = o et y = o, nous aurons la valeur de la constante d'intégration :
A = L*[(V*rho)/(R + rho)]
ce qui donne :
(-t)*[(R + rho)/(K*R*rho)] = L*[(V*rho)/(R + rho) - v] - L*[(V*rho)/(R + rho)]
ou, en remplaçant la différence des logarithmes par le logarithme du quotient
(-t)*[(R + rho)/(K*R*rho)] = L*[1 - ((R + rho)/(V*rho))*v],
c'est-à-dire
exp((-t)*[(R + rho)/(K*R*rho)]) = 1 - [(R + rho)/(V*rho)]*v.
Il n'y a qu'à résoudre par rapport à v.
Soient
