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Les probabilités correspondantes aux diverses valeurs de $n$ s’obtiennent en multipliant $e^{-\nu }$ par les termes successifs du développement en série de $e^{\nu }.$ La somme est bien encore égale à $1$ et le maximum a lieu pour $n=\nu$ si $\nu$ est entier ou sinon pour le plus grand entier que contient $\nu .$ Au jeu de roulette, si la rouge et la noire sont également probables, ce qui est un postulat indépendant de ceux que nous avons faits, la moyenne $\nu$ des noires portant sur un grand nombre d’intervalles est évidemment égale à la moitié du nombre des coups joués dans chacun de ces intervalles.

La loi des écarts. – Si nous introduisons dans la formule, au lieu du nombre $n,$ l’écart $\delta =n-\nu$ à partir de la moyenne, et si nous supposons $n$ assez grand pour qu’on puisse remplacer $n!$ par la formule bien connue de Stirling, la probabilité d’un écart $\delta$ prend la forme

(3)

$\mathrm {P} ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \nu }}}e^{-{\frac {\delta ^{2}}{2\nu }}},$

qui rappelle exactement la loi des erreurs de Gauss. Si au lieu de l’écart absolu $\delta$ nous introduisons l’écart relatif $\varepsilon ={\frac {\delta }{\nu }},$ il vient :

(4)

$\mathrm {P} ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \nu }}}e^{-{\frac {\nu \varepsilon ^{2}}{2}}}.$

Cette dernière forme met en évidence un fait